Аналитическая геометрия на плоскости

1.1. Координаты точек на плоскости. Расстояние между двумя

точками. Деление отрезка в данном отношении

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

Точка О называется началом координат; оси Ох и Оу - координатными осями, ось Ох - осью абсцисс, ось Оу - осью ординат. Оси Ох и Оу располагаются в координатной плоскости.

Пусть М - произвольная точка плоскости, МА и МВ - перпендикуляры, опущенные из точки М на оси Ох и Оу соответственно. Если величины отрезков ОА и ОВ равны А и В, то эти величины называются координатами точки М. Величина А называется абсциссой точки М, а величина В - ординатой. Если точка М имеет координаты А и В, то это символически обозначают М (А, В).

Теорема 1. Для любых двух точек и плоскости расстояние между ними выражается формулой

. (1.1)

По теореме Пифагора из треугольника М₁М₂К . Учитывая, что , , получим или . Теорема доказана.

П р и м е р 1. Вычислить площадь правильного треугольника, если известны две его вершины А (6; -2) и В (-1; -4).

Решение. Как известно, площадь правильного треугольника вычисляется по формуле , где а - сторона треугольника. В нашем случае , поэтому искомая площадь треугольника (кв. ед.).

П р и м е р 2. Даны две смежные вершины квадрата А (4, -2) и В (5, 4). Вычислить площадь квадрата.

Решение. Площадь S квадрата находится по формуле , где - длина стороны квадрата. Поэтому для вычисления площади найдем длину стороны AB: . Таким образом, (кв. ед.).

Теорема 2. Если точка М (х; у) делит отрезок М₁М₂ в отношении l, считая от точки М₁, то координаты этой точки определяются по формулам

, , (1.2)

где (х₁; у₁) и (х₂; у₂) - координаты точек М₁ и М₂ соответственно.

Доказательство. Из точек М₁, М, М₂ опустим перпендикуляры на ось Ох. Точки пересечения этих перпендикуляров с осью абсцисс обозначим Р₁, Р и Р₂ соответственно. Пусть М₁К₂ и МК перпендикулярны М₂Р₂, К₁ - точка пересечения М₁К₁ и МР.

Треугольники М₁К₁М и МКМ₂ подобны, поэтому . Так как , то , и . Из последнего равенства следует, что . Аналогично находим, что . Теорема доказана.

Следствие. Если точка - середина отрезка, соединяющего точки и , то

, . (1.3)

Доказательство. Точка является серединой отрезка, соединяющего точки и , т. е. . Подставляя в формулы (1.2), получим доказываемые равенства.

П р и м е р 3. Найти центр тяжести (точку пересечения медиан) треугольника, если заданы его вершины А (х₁; у₁), В (х₂; у₂) и С (х₃; у₃).

Решение. Пусть - середина стороны АВ. Тогда , . В точке пересечения медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1, отчет ведется от вершины треугольника. Пусть - точка пересечения медиан. Тогда и по теореме о делении отрезка в данном отношении имеем: , .

П р и м е р 4. Зная вершины , и параллелограмма , найти координаты вершины , противолежащей .

Решение. Пусть в параллелограмме диагонали и пересекаются в точке . По свойству параллелограмма его диагонали в точке пересечения делятся пополам, т. е. точка является одновременно серединой отрезков и . По формуле (1.3) , . Так как точка является серединой отрезка , то и . Из последних равенств находим: , . Таким образом, вершина имеет координаты .

1.2. Вычисление площади треугольника через координаты вершин

Теорема 3. Пусть точки , и являются вершинами треугольника. Тогда площадь этого треугольника может быть вычислена по формуле:

. (1.4)

Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС, расположенный в плоскости Оху. Площадь этого треугольника равна разности площадей трапеции К₁АВК₂ и треугольников К₁АС и СВК₂.. Найдем площадь трапеции К₁АВК₂ и треугольников К₁АС и СВК₂:

,

,

.

Таким образом, .

Для любого другого расположения точек формула доказывается аналогично. Теорема доказана.

П р и м е р 5. Вычислить площадь параллелограмма , если известны координаты его смежных вершин , и точки пересечения его диагоналей.

Решение. Параллелограмм делится диагоналями на четыре равновеликих треугольника, поэтому . Площадь треугольника найдем по формуле (1.4): . Таким образом, (кв. ед.).

П р и м е р 6. Одна из вершин треугольника находится в начале координат, а вторая вершина имеет координаты . Найти координаты третьей вершины , находящейся на оси ординат, если площадь треугольника равна 7 кв. ед.

Решение. Вершина находится на оси ординат, поэтому ее абсцисса равна нулю, т. е. точка имеет координаты . Воспользуемся формулой (1.4) для нахождения площади треугольника, получим: . Так как площадь треугольника равна 7 кв. ед., относительно получаем уравнение , т. е. . Таким образом, вершина имеет координаты или .

1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть дана некоторая прямая.

Определение. Углом a наклона данной прямой к оси называется угол, на который надо повернуть ось , чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Обычно в качестве угла a берут наименьший положительный из данных углов.

Определение. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс ее угла наклона, т. е.

. (1.5)

Если , то прямая параллельна оси . В случае прямая параллельна оси .

Выведем уравнение прямой, если известны ее угловой коэффициент и величина , отсекаемая прямой на оси (т. е. прямая не перпендикулярна оси ).

Из треугольника : . Далее, , . Таким образом, , или

. (1.6)

Уравнение (1.6) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом , отсекающей на оси величину . Если , то уравнение (1.6) принимает вид и прямая, задаваемая этим уравнением, параллельна оси .

Любая прямая, не параллельная оси , задается уравнением вида (1.6), и любое уравнение вида (1.6) определяет прямую, не параллельную оси .

1.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Выведем уравнение прямой, проходящей через точку , с угловым коэффициентом .

Прямая с заданным угловым коэффициентом имеет уравнение, в котором величина неизвестна. Прямая проходит через точку, поэтому координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой, т. е. или. Следовательно, искомое уравнение имеет вид или

. (1.7)

Замечание. Если прямая проходит через точку параллельно оси , то ее уравнение имеет вид .

Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и . Запишем уравнение прямой в виде (1.7): , где - неизвестный коэффициент. Искомая прямая проходит через точку , поэтому выполняется равенство .

Если , то искомая прямая параллельна оси и имеет вид . Если , то и уравнение (1.7) принимает вид . В случае прямая параллельна оси и задается уравнением . Если же , уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид

. (1.8)

П р и м е р 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью абсцисс угол .

Решение. По формуле (1.5) угловой коэффициент прямой . Согласно формуле (1.7) искомое уравнение прямой имеет вид или .

П р и м е р 8. Составить уравнения сторон треугольника, вершины которого находятся в точках , и .

Решение. Для того чтобы составить уравнения сторон указанного треугольника, воспользуемся формулой (1.8) уравнения прямой, проходящей через две точки с различными абсциссами и ординатами. Сторона задается уравнением , или . Для стороны уравнение имеет вид , или . Уравнение третьей стороны : , т. е. .

1.5. Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые I и II, задаваемые уравнениями и и образующие c осью углы и соответственно.

Тогда , . Угол является внешним углом треугольника, образованного осью и прямыми I и II. Пусть - один из углов между прямыми. Тогда или . Следовательно,

. (1.9)

Второй угол между прямыми равен и . За угол между прямыми принимается наименьший неотрицательный угол из углов и .

Если две прямые параллельны, то , поэтому . Условие

(1.10)

является условием параллельности двух прямых. Если же прямые перпендикулярны, то угол , , следовательно, или

. (1.11)

Это равенство является условием перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами и .

П р и м е р 9. Найти угол между стороной треугольника и медианой, проведенной из вершины , если , и .

Решение. Пусть точка является серединой стороны , тогда по формуле (1.3) , . Составим уравнение стороны , воспользовавшись формулой (1.8); , или . Угловой коэффициент прямой, содержащей сторону , равен . Медиана задается уравнением . Это уравнение приводится к виду . Поэтому угловой коэффициент прямой, содержащей медиану , равен . По формуле (1.9) тангенсы углов между стороной и медианой : , . Учитывая, что за угол между прямыми принимается наименьший положительный из углов и , получаем, что угол между стороной и медианой равен .

Замечание. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки и с различными абсциссами, согласно (1.7) должен удовлетворять соотношению . Если , то .

П р и м е р 10. Составить уравнение высоты, проведенной из вершины на сторону , если , и .

Решение. Прямая, содержащая сторону , проходит через точку , поэтому ее уравнение имеет вид (1. 7): . Угловой коэффициент этой прямой . Угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , находим из условия (1.11), т. е. . Воспользовавшись формулой (1. 7), получим искомое уравнение: .

1.6. Общее уравнение прямой. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой в отрезках

Теорема 4. В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени

, (1.12)

и уравнение (1.8) при любых коэффициентах , и (при условии, что коэффициенты и одновременно не обращаются в ноль, т. е. ) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат .

Доказательство. Если прямая не перпендикулярна оси , то она задается уравнением или . Введем обозначения , , и получим уравнение . Если прямая перпендикулярна оси , то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, т. е. . В этом уравнении , , .

Пусть дано уравнение . Если , то , положив , , получим уравнение прямой, не перпендикулярной оси . Если , то и , т. е. и - уравнение прямой, перпендикулярной оси . Теорема доказана.

Уравнение (1.12) называется общим уравнением прямой.

Выведем уравнение прямой в отрезках. Пусть , и . Тогда из уравнения (1.8): , или . Обозначим , , получим

. (1.13)

Уравнение (1.13) называется уравнением прямой в отрезках. Числа и равны величинам отрезков, которые прямая отсекает на осях и соответственно.

Уравнение (1.12) является неполным уравнением прямой, если какой-либо из коэффициентов , или равен нулю. Возможны следующие случаи:

a) ; уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат;

b) ; - прямая, параллельная оси и отсекающая на оси отрезок величины ;

c) ; - прямая, параллельная оси и отсекающая на оси отрезок величины .

П р и м е р 11. Найти площадь ромба, диагонали которого лежат на координатных осях, а одна из сторон задается уравнением .

Решение. Ромб делится своими диагоналями на четыре равновеликих прямоугольных треугольника. Пусть прямая пересекает оси абсцисс и ординат в точках и соответственно. Площадь ромба равна . Уравнение стороны в отрезках имеет вид: или . Таким образом, прямая отсекает на координатных осях отрезки длиной 7 и 3 ед. Следовательно, , а площадь ромба равна 42 (кв. ед.).

1.7. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Рассмотрим прямую на плоскости . Пусть прямая задается уравнением , причем . В этом случае угловой коэффициент этой прямой равен . Проведем через точку прямую, перпендикулярную и пересекающую ее в некоторой точке .

Уравнение прямой имеет вид . Точка является пересечением прямых и , поэтому ее координаты и должны удовлетворять системе уравнений:

(1.14)

Определитель этой системы , поэтому по теореме Крамера она имеет единственное решение:

Тогда , . По формуле (1.1) найдем длину отрезка : . Дина отрезка равна расстоянию от точки до прямой, задаваемой полным уравнением , т. е.

. (1.15)