Векторная алгебра

2.1. Декартовы координаты в пространстве

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Обозначим оси , и . Точка называется началом системы координат, оси , и - осями абсцисс, ординат и аппликат. Пусть , , - проекции произвольной точки пространства на оси , и соответственно.

Определение. Декартовыми прямоугольными координатами , , точки называются величины направленных отрезков , и . Декартовы координаты , и точки называются соответственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой.

То, что точка имеет координаты , и , символически обозначают . Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел , и каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная точка в пространстве.

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях , , . Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей, называемых октантами.

2.2. Векторы. Линейные операции над векторами

Определение. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой .

Начало вектора называют точкой приложения вектора. Иногда вектор обозначают одной латинской буквой, например .

Определение. Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка , т. е. записи и обозначают длины векторов и соответственно.

Если , то вектор называется единичным. Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называется нулевым и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления, и его длина равна нулю. Поэтому при записи нулевой вектор можно отождествлять с вещественным числом 0.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни были вектор и точка , существует единственный вектор с началом в точке , равный вектору .

Другими словами, точка приложения данного вектора может быть выбрана произвольно, поэтому геометрические векторы называются свободными.