Если же , то в силу (2.1) .

Пусть задана некоторая ось и . Применяя к каждому из этих векторов формулу (2.2), получим, что , т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Определение. Проекции , , вектора на оси , и прямоугольной системы координат называются координатами вектора в этой системе координат.

Если для вектора , , , то символически это записывается в виде

. (2.3)

Теорема 2. Для любых двух точек и координаты вектора определяются по формулам

, , . (2.4)

Доказательство. Проведем через точки и плоскости, перпендикулярные оси , и обозначим точки пересечения оси и построенных плоскостей и .

Точки и имеют на оси координаты и . По определению , но , т. е. . Аналогично доказываются и остальные соотношения. Теорема доказана.

Рассмотрим свойства проекций векторов на ось.

Теорема 3. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.

. (2.5)

Доказательство. Пусть , тогда, приложив вектор к концу вектора , т. е. к точке , можем считать, что . Обозначим через , , проекции точек , и С на ось . По определению проекции вектора на ось имеем: , , , (последнее равенство следует из правила сложения величин вещественных чисел).

Таким образом, . Теорема доказана.

Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

. (2.6)

Доказательство. Пусть - угол между осью и вектором , а - угол между осью и вектором . Если , то векторы и направлены одинаково и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление и .

Согласно (2.2) при имеем: . Если же , то . При обе части равенства (2.6) обращаются в нуль. Таким образом, при любых вещественных значениях . Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает следствие.

Следствие. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то при любых действительных числах и вектор имеет координаты

. (2.7)

Пусть - углы наклона вектора к осям , и соответственно.

Определение. Три числа , и называются направляющими косинусами вектора .

Из определения координат вектора следует, что если , то

, , . (2.8)

Так как является диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, которые отсекают на координатных осях величины , и , то

. (2.9)

Из формул (2.8) и (2.9) находятся выражения для направляющих косинусов вектора через его координаты:

, , . (2.10)

Возводя полученные равенства в квадрат и складывая, получим, что , т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Так как вектор однозначно определяется заданием трех его координат, из полученных формул (2.8) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.

П р и м е р 22. Даны два вектора и . Найти проекции на координатные оси векторов и .

Решение. Проекциями вектора на координатные оси являются его координаты. По формуле (2.7) получим: , .

2.4. Разложение вектора по базису

Пусть , , - единичные векторы осей координат, т. е. , и каждый из них одинаково направлен с осями , и соответственно. Векторы , , называются базисными векторами. Они взаимно перпендикулярны и задаются координатами следующим образом: , , .

Теорема 5. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису , , , т. е. представлен в виде

, (2.11)

где - действительные числа.

Доказательство. Рассмотрим вектор .

Обозначим , , . Тогда , т. е. . Векторы и коллинеарны, поэтому существует такое число , что . Аналогично можно показать, что и . Таким образом, .

Для доказательства единственности установим, что , , , где - координаты вектора . Если вектор имеет такое же направление, как и вектор , то и . Если же векторы и противоположно направлены, то . С другой стороны, . Из равенства векторов следует, что . Равенства и доказываются аналогично. Теорема доказана.

Определение. Три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что существует тривиальная линейная комбинация этих векторов, т. е.

. (2.12)

Теорема 6. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Доказательство. Необходимость. Пусть три вектора , и линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа , и , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что . Для определенности будем считать, что . Тогда , или . Если векторы , и приложены к общему началу , то вектор равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах и как на смежных сторонах, следовательно, векторы , и лежат в одной плоскости. Это равносильно тому, что и векторы , и лежат в одной плоскости, так как после приведения к общему началу векторы и (соответственно, и ) лежат на одной прямой.

Достаточность. Пусть векторы , и - компланарны. Если какие-либо два вектора из них являются коллинеарными, то они будут линейно зависимыми, следовательно, и все три вектора линейно зависимы.

Пусть в тройке векторов , , ни одна пара векторов не является коллинеарной. Тогда в этой тройке отсутствуют и нулевые векторы. Перенесем три компланарных вектора , , на одну плоскость и приведем их к общему началу . Обозначим буквами и концы этих векторов. Через точку проведем прямые, параллельные векторам и .

Точки пересечения построенных прямых с прямыми, на которых лежат векторы и , обозначим соответственно и . Эти точки существуют, так как векторы и не коллинеарны. Из параллелограмма следует, что . Вектор коллинеарен вектору , поэтому существует вещественное число такое, что . Аналогично доказывается, что . Таким образом, вектор является линейной комбинацией векторов и и, следовательно, . Это равносильно тому, что векторы , и линейно зависимы. Теорема доказана.

Рассмотрим три компланарных вектора , , . Составим матрицу , столбцами которой являются координаты этих векторов. Столбцы матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. Таким образом, необходимым и достаточным условием компланарности векторов , и является равенство нулю определителя матрицы, столбцами которой являются координаты этих векторов, т. е.

. (2.13)

Теорема 7. Если , , - произвольные некомпланарные векторы, то любой вектор может быть представлен единственным образом в виде

, (2.14)

где - некоторые числа, т. е. любой вектор может быть разложен по трем некомпланарным векторам.

Доказательство. Пусть векторы , , , заданы своими координатами, т. е. , , , . Тогда . По правилу сложения векторов и умножения вектора на число имеем: . Для выполнения условия (2.14) система уравнений

(2.15)

относительно неизвестных , и должна иметь единственное решение. Определитель системы , так как векторы , , некомпланарные. Следовательно, по теореме Крамера система (2.15) имеет единственное решение, и вектор может быть единственным образом представлен в виде . Теорема доказана.