Аналитическая геометрия в пространстве

3.1. Общее уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат , точка и вектор . Выведем уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Пусть - произвольная точка плоскости . Точка лежит в плоскости тогда и только тогда, когда векторы и взаимно перпендикулярны.

Вектор имеет координаты . Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т. е. должно выполняться равенство . Воспользовавшись формулой (2.21), получим:

. (3.1)

Уравнение (3.1) - искомое уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной вектору , так как ему удовлетворяют координаты любой точки , лежащей на плоскости , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой плоскости.

Если в уравнении (3.1) раскрыть скобки и обозначить , то получим общее уравнение плоскости:

. (3.2)

Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как определяется уравнением первой степени.

Теорема 1. Всякое уравнение первой степени вида (3.2) определяет в заданной системе координат плоскость.

Доказательство. Пусть заданы прямоугольная система координат и уравнение , коэффициенты которого удовлетворяют условию , т. е. хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Для определенности будем считать, что . Уравнение (3.2) имеет решение , так как при фиксированных и из уравнения (3.2) получим . Следовательно, существует хотя бы одна точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (3.2), т. е. . Вычитая это числовое равенство из уравнения (3.2), получим уравнение , эквивалентное данному , поэтому уравнение определяет плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную вектору . Теорема доказана.

П р и м е р 30. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. С использованием (3.1) имеем: , или .

Определение. Вектор , перпендикулярный плоскости , задаваемой уравнением , называется нормальным вектором этой плоскости.

Теорема 2. Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число , что справедливы равенства , , , , т.е. коэффициенты уравнений пропорциональны.

Доказательство. Уравнения и определяют одну и ту же плоскость, поэтому векторы и коллинеарны. Согласно условию (2.28) коллинеарности имеем: , т. е. , , . Подставим выражения для коэффициентов в первое уравнение плоскости, получим: . Выражение, стоящее в скобках, равно , поэтому . Теорема доказана.

3.2. Угол между плоскостями

Рассмотрим две плоскости и , которые задаются уравнениями и .

При любом расположении плоскостей в пространстве один из углов между ними равен углу между их нормальными векторами и и вычисляется по формуле:

. (3.3)

Второй угол между плоскостями равен и .

Две плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны. В этом случае

. (3.4)

Условие (3.4) является условием параллельности двух плоскостей, задаваемых уравнениями и .

Две плоскости и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и ортогональны, т. е. косинус угла между ними равен нулю. Поэтому условие перпендикулярности плоскостей определяется соотношением

. (3.5)

3.3. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках

Определение. Общее уравнение (3.2) плоскости называется полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.

1. . Уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки удовлетворяют этому уравнению.

2. . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси .

3. . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси .

4. . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси .

5. . Уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости , так как эта плоскость параллельна осям и .

6. . Уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости , так как эта плоскость параллельна осям и .

7. . Уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости , так как эта плоскость параллельна осям и .

8. . Уравнение определяет координатную плоскость , так как эта плоскость параллельна и проходит через начало координат.

9. . Уравнение определяет координатную плоскость , так как эта плоскость параллельна и проходит через начало координат.

10. . Уравнение определяет координатную плоскость , так как эта плоскость параллельна и проходит через начало координат.

Рассмотрим полное уравнение (3.2) плоскости. В этом уравнении все коэффициенты отличны от нуля, поэтому его можно переписать в виде , или

, (3.6)

где , , - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях , и соответственно. Уравнение (3.6) называется уравнением плоскости в отрезках.

3.4. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки,

не лежащие на одной прямой

Пусть три точки , и не лежат на одной прямой. В этом случае векторы и не коллинеарны, поэтому точка лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т. е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю. Используя выражение (2.34) смешанного произведения векторов в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точки к плоскости, проходящей через точки , и :

. (3.7)

Уравнение (3.7) первой степени и является уравнением искомой плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой.

3.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки

до плоскости

Рассмотрим произвольную плоскость . Проведем через начало координат прямую , перпендикулярную плоскости , которую будем называть нормалью. Точка - пересечение плоскости и нормали. Введем направление от точки к точке , т. е. на прямой возьмем единичный вектор , направление которого совпадает с направлением отрезка . Если точки и , совпадают, то направление вектора выберем произвольно.

Пусть , - углы, которые вектор составляет с осями , и соответственно. Тогда координатами вектора будут направляющие косинусы . Если - произвольная точка плоскости , проекция вектора на нормаль равна , т. е.:

. (3.7)

Учитывая, что , , получим:

. (3.8)

Из соотношений (3.7) и (3.8) следует нормальное уравнение плоскости:

. (3.9)

Теорема 3. Если точка имеет координаты и плоскость задана нормальным уравнением , то расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

. (3.10)

Доказательство. Пусть - проекция точки на направленную нормаль. Тогда в силу основного алгебраического тождества или , откуда следует, что . Но , , т. е. . Вектор имеет координаты и . Поэтому . Теорема доказана.

Пусть уравнения и являются общим и нормальным уравнениями одной и той же плоскости . По теореме 2 коэффициенты в этих уравнениях пропорциональны, т. е. , , . Так как , то или .

Определение. Число , с помощью которого общее уравнение плоскости преобразуется к нормальному, называется нормирующим множителем.

Знак числа определяется из условия , т. е. оно имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения. Если в уравнении (3.2) , то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.

П р и м е р 31. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. Прежде всего нужно общее уравнение плоскости привести к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель . В общем уравнении плоскости , поэтому , т. е. . Следовательно, нормальное уравнение плоскости имеет вид . Тогда .

Следствие. Если точка имеет координаты и плоскость задана общим уравнением , то расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

. (3.11)

Доказательство. Направляющие косинусы нормали плоскости связаны с коэффициентами общего уравнения плоскости соотношениями , , , где - нормирующий множитель. Учитывая, что , преобразуем формулу (3.10): = = . Следствие доказано.

3.6. Пучки и связки плоскостей

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую , называется пучком плоскостей (с центром в ).

Теорема 4. Если и - уравнения двух различных и не параллельных плоскостей, пересечением которых является некоторая прямая , а и - произвольные числа, удовлетворяющие условию , то уравнение

(3.12)

определяет плоскость, проходящую через прямую . Более того, найдутся и такие, что любая плоскость, проходящая через прямую , описывается уравнением (3.12).

Доказательство. Покажем, что при выполнении условия уравнение (3.12) представляет собой уравнение первого порядка. Запишем (3.12) в виде

. (3.13)

Предположим, что в выражении (3.13) все коэффициенты, стоящие перед переменными, обращаются в нуль, т. е. , и . Так как , то, положив для определенности , получим , , , т. е. . Последнее равенство является условием параллельности плоскостей, задаваемых уравнениями и , и противоречит предположению о том, что эти плоскости пересекаются и не совпадают. Таким образом, при условии уравнение (3.13) (соответственно и уравнение (3.12)) является уравнением первой степени и, как было показано ранее, определяет некоторую плоскость.

Если - произвольная точка линии пересечения плоскостей, задаваемых уравнениями и , то эта точка принадлежит каждой из этих плоскостей, т. е. выполняются равенства и , следовательно, . Это равносильно тому, что плоскость, задаваемая уравнением (3.12), проходит через линию пересечения плоскостей, определяемых уравнениями и .

Покажем, что найдутся и такие, что любая плоскость, проходящая через прямую , описывается уравнением (3.12). Любая плоскость, проходящая через прямую , определяется заданием еще одной точки , не принадлежащей прямой . Если такая плоскость задается уравнением (3.12), то координаты точки удовлетворяют уравнению

. (3.14)

Так как точка не принадлежит одновременно двум плоскостям, задаваемым уравнениями и , то не могут одновременно обратиться в нуль выражения, стоящие в скобках выражения (3.14). Для определенности будем считать, что . Тогда при (если и , то , что противоречит условию ) из уравнения (3.14) можем определить коэффициент :

.

При указанных и плоскость, определяемая уравнением (3.12), проходит через точку . Если же , то, рассуждая аналогично, при найдем . Теорема доказана.

Учитывая, что , при введем обозначение и уравнение (3.12) запишем в виде

. (3.15)

Уравнение (3.15) содержит все плоскости, проходящие через прямую, определяемую как пересечение плоскостей и кроме плоскости . Поэтому пучок плоскостей может быть задан совокупностью уравнений и .

Доказанная теорема позволяет задавать прямую, являющуюся линией пересечения двух не параллельных и не совпадающих плоскостей и , не только двумя уравнениями этих плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями пучка (3.12), полученными при произвольных значениях и .

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей (с центром в точке ).

Теорема 5. Уравнение связки плоскостей с центром в точке имеет вид

, (3.16)

где - произвольные числа, не равные одновременно нулю, т. е. они должны удовлетворять условию .

Доказательство. Очевидно, что любая плоскость, задаваемая уравнением (3.16), проходит через точку . Если же является заданной плоскостью, проходящей через точку , то эта плоскость однозначно определяется заданием еще и нормального вектора . Таким образом, плоскость задается уравнением (3.1), совпадающим с уравнением (3.16). Теорема доказана.

3.7. Уравнения прямой в пространстве

Любую линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и задавать ее системой двух уравнений. Поэтому любую прямую можно рассматривать как линию пересечения плоскостей и определять заданием двух уравнений первой степени.