Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1. Понятие динамической системы и обыкновенного дифференциального уравнения. Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения.

2. Определение решение дифференциального уравнения с начальными условиями. (Задача Коши).

3. Примеры динамических систем описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка: накопление капитала, инфляция, размножение бактерий, распад радиоактивного вещества, распространение эпидемий и наркомании, простейшая модель народонаселения.

4. Теорема существования и единственности обыкновенного дифференциального уравнения. Пример использования теоремы для доказательства общности решения линейного уравнения.

5. Геометрическая интерпретация решения обыкновенного дифференциального уравнения. Фазовое пространство, векторное поле скоростей изменения состояния. Расширенное фазовое пространство.

6. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения, интегрируемые в квадратурах. Пример дифференциального уравнения неинтегрируемого в квадратурах.

7. Интегрирования уравнения в полных дифференциалах.

8. Интегрирования уравнения с разделяющимися переменными.

9. Интегрирование однородного линейного дифференциального уравнения первого порядка.

10. Интегрирование неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка.

11. Свойства комплексных чисел. Формула Эйлера. Основная теорема алгебры.

12. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общие свойства решений линейного дифференциального уравнения n-ого порядка.

13. Метод Эйлера интегрирования дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение в случае простых вещественных корней характеристического уравнения.

14. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае простых комплексных корней характеристического уравнения.

15. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных вещественных корней характеристического уравнения.

16. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных комплексных корней характеристического уравнения.

17. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида f(t) e^at, где f(t) - многочлен.

18. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида e^at * (f(t)*cos(bt) + g(t)*sin(bt)), где f(t), g(t) - многочлены.

19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Положения равновесия, точки покоя.

20. Пример системы дифференциальных уравнений, описывающей отношения хищник-жертва.

21. Геометрическая интерпретация решения однородного дифференциального уравнения второго порядка на фазовой плоскости. Понятие устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Достаточное условие устойчивости положения равновесия.

22. Геометрическая интерпретация решения обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка в фазовом пространстве. Понятие устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Достаточное условие устойчивости положения равновесия однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.

23. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Способ Эйлера - Коши.

24. Понятие о качественных методах теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теория бифуркации динамических систем, теория катастроф.

25. Бифуркации положений равновесия динамической системы. Пример: модель рыболовства. Перспективы использования теории катастроф.

26. Линейное неоднородное дифференциальное уравнения второго порядка. Амплитудочастотная и фазочастотная характеристика. Резонанс.

27. Рекомендации по использованию компьютерных средств, для решения дифференциальных уравнений (Maple, Matlab)/

Литература

1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. изд. Наука, М., 1965, 332.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. изд. Наука, М., 1971, 240.

3. *Смирнов В.И. Курс высшей математики. том 2, изд., Наука, М., 1974, 656

4. *Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. изд. Высшая школа, М., 1963.

5. *Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. учебное пособие, изд. ЛГУ, Л., 1965, 368.

6. *Матвеев Н.М. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. учебное пособие, изд. ЛГУ, 1960, 288.

7. *Арнольд В.И. Теория катастроф. изд., Наука, М., 1990, 128.

8. Вагнер Г. Основы исследования операций, Т.2, изд., Мир, М., 1973

9. *Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложение. М., Мир, 1980, 603.

10. *Дисилмор Р. Теория катастроф для ученых и инженеров. М., Мир, 1983.

11. *Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М., Мир, 1972, 278.

12. *Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. М., Соврадио, 1977, с.47-53.

* - отмечены наиболее доступные книги.

№ 1

1. Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 15% в конце года она равна 5%. В начале года у господина А имеется сумма 50 тыс. руб. Какова реальная стоимость этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть вложены деньги, чтобы они не обесценились?

2. Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 14% в конце года она равна 4%. В начале года у господина А имеется сумма 150 тыс. руб. Какова реальная стоимость этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть вложены деньги, чтобы они не обесценились?

3. Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 26% в конце года она равна 6%. В начале года у господина А имеется сумма 10 тыс. руб. Какова реальная стоимость этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть вложены деньги, чтобы они не обесценились?

4. Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 8% в конце года она равна 38%. В начале года у господина А имеется сумма 100 тыс. руб. Какова реальная стоимость этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть вложены деньги, чтобы они не обесценились?

5. Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 7% в конце года она равна 37%. В начале года у господина А имеется сумма 130 тыс. руб. Какова реальная стоимость этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть вложены деньги, чтобы они не обесценились?

6. Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 2% в конце года она равна 22%. В начале года у господина А имеется сумма 150 тыс. руб. Какова реальная стоимость этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть вложены деньги, чтобы они не обесценились?

№ 2

Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

1. x’ = e^x t(t²+5)

2. x’ = (x²+25)(cos(t))

3. x’ = cos(t)/cos(x)

4. x’ = (x²+1)(tcos(t²))

^5. x’ = x^-2 e^x t¹⁰⁰ (t²+5)

6. x’ = x⁵⁰ t e^t

7. x’ = (t³ – 1)/cosx

8. x’ =

^9. x’ =

10. x’ = cos² x * e^9t

11. x’ =

12. x’ = cos²(x)*cos(t)

№ 3

Проинтегрировать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

1. (7x⁶+9x²y⁴-10xy-2)dx+(12x³y³-5x²+4)dy=0

1. (14 xy⁴-10 xy+2y²)dx+(28 x²y³-5x²+4xy+4)dy=0

1. (y⁷+3x²y⁴+4xy²-28)dx+(7 xy⁶+4x³ y³+4x²y+14)dy=0

1. (39x²y⁴-10xy²+y²+12)dx+(7y⁶+52x³y³-10x²y+2xy-44)dy=0

1. (y⁷+3x²y⁴-10xy+6x²y²-1)dx+(7xy⁶+4x³ y³-5x²+4x³y+1)dy=0

1. (y⁵-4x³y⁴-10xy+2y²-21)dx+(5xy⁴-4 x⁴y³-5x²+4 xy+42)dy=0

1. (7x⁶+9 x²y³-10 x y²+2y-2)dx+(7y⁶+9 x³y²-10 x²y+2x+4)dy=0

1. (y⁸+9 x²y⁴-10x y²+2y-12)dx+(8 xy⁷+12x³y³-25x²y⁴+2x+14)dy=0

1. (7x⁶+9 x²y³-10 xy²+2y-1)dx+(7y⁶+9 x³y²-10 x²y+2x-1)dy=0

1. (y⁷+9 x²y³-30 xy+12y²-2)dx+(7xy⁶+9 x³y²-15x²+24xy+1)dy=0

№ 4

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

1. x' = x tg t + cos t 2. x' = x/t + t

2 2

3. (1 + y)dx = (sqrt(1 + y) sin y - xy)dy

2 2 2 2

4. y dx - (2 xy + 3)dy = 0 5. (1 + x) y' - 2 xy = (1 + x)

6. x y' = 2x + 3y 7. y dx + 2 (x + y) dy = 0

2 2

8. (x - 2xy - y) dy + y dx = 0

9. dy/dx + tg y = x/cos y сначала подстановка z = sin y

3 4 4

10. dy/dx = - 2 x y + x 11. dy/dx = - 5 x y + x

4 9 2 5

12. dy/dx = - 5 x y + 10 x 13. dy/dx = - 3 x y + 10 x

№ 5

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

1. y" - 5y' + 6y =0 2. y" - 9y = 0

3. y" - y' = 0 4. y" + y = 0

5. y" - 2y' + 2y = 0 6. y" + 4y' + 13y = 0

7. y" + 2y' + y = 0 8. y" - 4y' + 2y = 0

9. y" '+ 3y" + 3y' + y = 0 10. y" " - 4y" + 4y = 0

11. y" " + 4y" + 4y = 0 12. y" " + 2y" + y = 0

13. y" '- 3y" + 3y' - y = 0 14. y" " + 6y" + 9y = 0

№ 6

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

1. y" - 4y' + 4y = x 2. y" + 2y' + y = exp(2x)

3. y" - y = 2 sin x - 4 cos x 4. y" + 4y = sin 2x

5. y" + y = 6 sin 2x 6. y" + y = cos x + cos 2x

7. y" + y = exp(x) + cos x 8. y" + y = 2 sin x + 4x cos x

9. y" - 4y = exp(x)[(-4x + 4)cos x -(2x + 6)sin x]

10. y" - 2y' + 2y = exp(x)(2 cos x - 4x sin x)

11. y" + y = 2 sin x + 4x cos x

12. y" ' - y" + 4y'- 4y = 3 exp(2x) - 4 sin x

№ 7

Исследовать зависимость от параметра p качественной картины поведения

динамической системы

4. x'=2 x⁶–30 x⁴+54 x²-36-p

5. x' = 6. x' =

7. x' = 8. x' =

9. x' = 10. x'=3 x⁵-25 x³+60 x-38-p

11. x'=2 x⁶-15 x⁴+24 x-11-p 12.