Правило Лопіталя. Тут ми сформулюємо і доведемо декілька важливих теорем, на яких значною мірою ґрунтується подальший матеріал

Тут ми сформулюємо і доведемо декілька важливих теорем, на яких значною мірою ґрунтується подальший матеріал. Всі ці теореми належать французьким математикам – П. Ферма, М.Роллю, Ж.–Л.Лагранжу та О.Коші..

Теорема Ферма* Нехай функція неперервна на інтервалі і у деякій точці цього інтервалу набуває найбільшого або найменшого на цьому інтервалі значення. Тоді, якщо в точці існує похідна , то .

Доведення. Припустимо для визначеності, що у точці функція набуває найбільшого на значення. Тоді виконано: . Надамо значенню приріст так, щоб точка належала інтервалу . Функція отримає приріст . Розглянемо:

.

Якщо , то , і тоді (на підставі теореми про зберігання знаку границі). А якщо , то , і тоді . З цих двох нерівностей випливає, що . Теорему доведено.

Ця теорема має простий геометричний зміст: якщо в точці функція досягає найбільшого або найменшого на інтервалі значення, і в цій точці існує дотична до графіка функції, то ця дотична паралельна осі (рис. 26 а, б).

а б

Рис. 26

Зауваження. Твердження теореми втрачає силу, якщо інтервал в умові теореми замінити півінтервалом або відрізком. Наприклад, функція досягає найбільшого на відрізку значення в точці , і похідна в цій точці існує: . Але вона не дорівнює нулю.

Теорема Ролля*. Нехай функція

1) неперервна на відрізку ,

2) диференційовна принаймні на інтервалі ,

3 ) на кінцях відрізку набуває рівних значень, тобто .

Тоді на інтервалі знайдеться принаймні одна точка така, що виконується рівність .

Доведення. Оскільки функція неперервна на відрізку , то за другою теоремою Вейєрштрасса (див. розділ «Вступ до аналізу») вона досягає на цьому відрізку свого найменшого значення та найбільшого значення . Очевидно, що . Розглянемо дві можливі ситуації.

1). . Тоді на , і отже , тобто у якості точки можна взяти будь яку точку інтервала .

2). . Тоді з умови випливає, що хоча б одне з цих значень не набувається на кінцях відрізка . Припустимо для визначеності, що цим значенням являється , тобто . А тоді в точці досягається найбільше значення функції на інтервалі , отже за теоремою Ферма . Теорему доведено.

З геометричної точки зору ця теорема означає, що при виконанні умов теореми на інтервалі існує хоча б одна точка , в якій дотична до графіка функції паралельна осі . На рис. 27 дві такі точки і .

Рис. 27

Зауваження. Всі три умови теореми Ролля суттєві, тобто відмовлення хоча б від одної з них робить твердження теореми несправедливим. Розглянемо наступні приклади.

1. Відмовимось від першої умови, зберігаючи при цьому другу і третю. Розглянемо на відрізку функцію (рис. 28).

Рис. 28

Для цієї функції не існує точки, у якій похідна дорівнює нулю, оскільки .

2. Відмовимось від другої умови, залишивши при цьому першу і третю. Тепер розглянемо функцію на відрізку (рис. 29).

Рис. 29

Знову не існує точки , де , оскільки при , при , а у точці похідної не існує (див. лекцію 2).

3. Відмовимось від третьої умови, залишивши першу і другу. Розглянемо функцію на відрізку (рис. 30). І знову нема точки, у якій похідна дорівнювала б нулю, оскільки .

Якщо в теоремі Ролля, зокрема, припустити, що , то з цієї теореми випливає наслідок:

Рис. 30

Наслідок. Між будь якими двома коренями неперервної і неперервно диференційовної функції лежить принаймні один корінь її похідної.

Теорема Лагранжа*. Якщо функція неперервна на відрізку і диференційовна принаймні на інтервалі , то на інтервалі знайдеться принаймні одна точка така, що виконується рівність:

.

Доведення. Введемо допоміжну функцію , де сталу підбираємо з умови: . Тоді , звідки:

.

Тоді функція на відрізку буде задовольняти всім умовам теореми Ролля. Дійсно, вона неперервна на , як сума двох неперервних функцій, диференційовна на як сума двох диференційовних функцій, і на кінцях відрізку приймає рівні значення. Згідно з теоремою Ролля така, що . А оскільки , то

, що й треба було довести.

Теорема Лагранжа має наступний геометричний зміст. Розглянемо графік функції (рис. 31) на відрізку . Проведемо січну . Її кутовий коефіцієнт:

.

Рис. 31

З іншого боку, оскільки

, то з геометричного зміста похідної випливає, що кутовий коефіцієнт дотичної, яку проведено до графіка функції в точці , співпадає з кутовим коефіцієнтом січної, тобто дотична паралельна січній. Таким чином з геометричногї точки зору теорема Лагранжа означає, що при виконанні умов теореми на інтревалі знайдеться принаймні одна точка така, в якій дотична, проведена до графіка функції, паралельна січній . На рис. 31 таких точок дві – і .

Теорема Лагранжа має також і механічну інтерпретацію. Якщо – координата точки, що рухається, то відношення

дає середню швидкість точки за проміжок часу . Теорема Лагранжа стверджує, що знайдеться момент часу , в який миттєва швидкість точки буде дорівнювати середній:

.

Приклад. Для функції на відрізку знайти точку, в якій дотична до графіка функції паралельна січній.

Маємо: ,

.

Тоді за теоремою Лагранжа:

,

, тобто .

Теорему Лагранжа (її ще називають формулою скінченних приростів) ми неоднократно будемо використовувати у подальшому.

Теорема Коші* Нехай функції неперервні на відрізку , диференційовні принаймні на інтервалі , і крім того . Тоді на інтервалі знайдеться принаймні одна точка така, що виконується рівність:

.

Доведення. Як і в теоремі Лагранжа, введемо допоміжну функцію:

, де число підбираємо з умови: . Тоді:

, і отже функція на відрізку задовольняє всі умови теореми Ролля, згідно з якою . А оскільки , то , і отже:

.

Теорему доведено.

Теорема Лагранжа є частинним випадком теореми Коші (). Але теорема Лагранжа настільки важлива, що ми дали окреме її доведення.

Може скластися враження, що теорему Коші легко довести на підставі теореми Лагранжа, а саме: функції та на відрізку задовольняють, очевидно, всім умовам теореми Лагранжа, тому:

.

Насправді точка для кожної функції в теоремі Лагранжа своя, і правильний запис такий:

.

А теорема Коші стверджує наявність точки єдиної для обох функцій.

Інше питання, яке може виникнути, таке: в теоремі Коші є умова . Цілком зрозуміло, адже міститься в твердженні теореми у знаменнику. Але ж там є ще інший знаменник: . Чому ж нема умови ? З’ясовується, що вона зайва. Дійсно, якби виконувалась рівність , то функція на відрізку задовольняла б всім умовам теореми Ролля, згідно з якою на інтервалі існувала б точка така, що , а в умові теореми Коші: .

На підставі теореми Коші можна отримати важливе правило для обчислення границь функцій у випадках різних типів невизначеностей

Теорема (правило Лопіталя*). Нехай функції визначені в околі точки , і диференційовні у цьому околі за винятком, можливо, самої точки , причому , і у вказаному околі . Тоді, якщо існує границя , то існує границя , і ці границі рівні між собою, тобто

.

Доведення. Виберемо відрізок , який належить до вказаного в теоремі окола. Функції неперервні на , диференційовні на , і . Тоді за теоремою Коші існує точка така, що

, або , оскільки .

Оскільки за умовою існує, і при , то

, що й треба було довести.

Зауваження 1. Теорема зберігає силу і у тому випадку, коли умова замінюється умовою:

, тобто функції можуть бути невизначеними у точці .

Зауваження 2. Теорема справедлива і тоді, коли . Дійсно, поклавши (тоді ), дістанемо:

.

Приклад. Знайти границю .

Маємо невизначеність типу . Застосуємо правило Лопіталя (або, як жартівливо кажуть математики, «пролопітуємо»).

.

Зауваження 3. Якщо похідні задовольняють тим самим умовам, що й функції , то правило Лопіталя можна застосувати ще раз. Тоді матимемо:

.

І взагалі правило Лопіталя можна використовувати доти, поки не прийдемо до зникнення невизначеності.

Приклад.

.

За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначенності типу .

Теорема. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки , і в цьому околі:

1) ,

2) .

Тоді, якщо існує , то існує , і виконана рівність:

.

Доведення цієї теореми ми не приводимо внаслідок його надмірної складності*.

Приклади.

1. Знайти

.

Цю границю можна обчислити і без використання правила Лопіталя шляхом ділення чисельника і знаменника почленно на . Правило Лопіталя в цій ситуації дає:

.

2. Знайти .

Маємо невизначеність типу , тому за правилом Лопіталя маємо:

.

З цього факту випливає, що логарифмічна функція зростає повільніше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником.

3. Знайти

.

Знову маємо невизначенність типу . Застосуємо правило Лопіталя, причому декілька разів. Розглянемо два випадки.

а). . Застосуємо правило Лопіталя разів. Отримаємо:

.

б). . Позначимо: (через позначено цілу частину числа ). Тоді . «Пролопітуємо» разів. Отримаємо:

.

З цього факту випливає, що експонента зростає швидше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником.

За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначенності інших типів шляхом зведення їх до невизначенностей типу або .

Приклади.

1. .

Тут невизначенність типу . Зведемо її до невизначенності типу , після чого використаємо правило Лопіталя:

.

2. .

Тут невизначенність типу . Зведемо до невизначенності та «пролопітуємо»:

.

3. .

Тут невизначенність типу . Зведемо до невизначенності типу за допомогою логарифмування.

.

Обчислимо тепер границю . Це невизначенність типу . Зведемо її до невизначенності типу та «пролопітуємо»:

.

Отже .

4. .

Маємо невизначенність типу . Шляхом логарифмування зведемо її до невизначенностей інших типів:

.

Далі:

.

Отже наша границя дорівнює .

* Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.2. М.: Наука, 1970. – С.479.

* Див., напр.: А.Ф.Турбин, Н.В.Працевитый. Фрактальные множества, функции, распределения. К.: Наук. Думка, 1992. – 207 с.

* Ферма П’єр (1601–1665) – видатний французький математик. Разом з Декартом є засновником аналітичної геометрії, а також зробив значний внесок в теорію чисел та інтегральне числення. Автор славнозвісної Великої теореми Ферма.

* Ролль Мішель (1652–1719) – французький математик. Працював головним чином у галузі алгебри.

* Лагранж Жозеф–Луї (1736–1813) – видатний французький математик і механік, засновник аналітичної механіки і варіаційного числення. Зробив значний внесок в розвиток математичного аналізу.

* Коші Огюстен–Луї (1789–1857) – видатний французький математик. Зробив величезний внесок в розвиток математичного аналізу, теорії функцій комплексної змінной, диференціальних рівнянь, алгебри.

* Лопіталь Гійом Франсуа де (1661–1704) – французький математик. Видав перший підручник з диференціального числення «Аналіз нескінченно малих».

* Доведення можна знайти, наприклад, у підручнику: Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1. – М.: ”Наука”, 1969. – С.320–322.