Функції та їх диференціювання.

Розглянемо таку задачу: знайти похідну функції . Як її знайти? З одного боку це функція не є степеневою, оскільки у неї показник змінний, а у степеневої функції сталий. І тому формулу похідної степеневої функції використовувати не можна. А з другого боку ця функція не є й показниковою, оскільки у неї основа теж змінна, а у показникової функції основа стала. І тому формулу похідної показникової функції використовувати ми також не маємо права.

Такого типу функції називаються показниково– степеневими. І знаходити їх похідні доцільно за допомогою так званого логарифмічного диференціювання. Полягає воно в наступному. Розглянемо функцію таку, що . Візьмемо від цієї функції натуральний логарифм і продиференцюємо отриману таким чином складну функцію:

.

Звідси отримаємо:

.

Це й є формула логарифмічного диференціювання. Вона стверджує, що похідна функції дорівнює цій самій функції, яку помножено на похідну її натурального логарифму. А похідну від логарифму функції у деяких випадках взяти простіше, ніж похідну від самої функції.

Перейдемо до прикладів.

Приклади.

1. Знайти похідну функції .

Знайдемо похідну логарифму цієї функції:

.

Отже згідно з нашою формулою:

.

2. Розглянемо більш загальний випадок, а саме знайдемо похідну функції .

Маємо:

.

Звідси:

.

Зокрема, наприклад:

.

Логарифмічним диференціюванням є сенс користуватися і в інших випадках.

3. Знайти похідну функції

.

Взагалі кажучи, цю функцію можна було б продиференціювати і безпосередньо, використовуючи формули для похідних частки і добутку. Але це приведе до дуже громіздких викладок. Доцільніше скористатися логарифмічним диференціюванням. Отже:

.

.

.

Далі ми розглянемо низку прикладів на знаходження похідних функцій, тобто на техніку диференціювання.

Приклади. Знайти похідні функцій.

1. .

.

2. .

.

3. .

.

Тут використали формули для похідних частки і добутку.

Далі розглянемо приклади на диференціювання складної функції.

4. .

.

5. .

.

Як бачимо, іноді доводиться диференціювати функції багатократної складності, тобто такі, в яких внутрішня функція у свою чергу уявляє собою складну функцію. І тоді похідна від цієї внутрішньої функції теж береться як похідна складної функції. Наприклад, якщо , то . Розглянемо такий, декілька неприродний приклад: знайти похідну функції:

.

Маємо:

.

Диференціювання функцій такого типу нагадує автору казку про Чаклуна Невмирущого. Його смерть була на голці, яка була в яйце, яке було в качці, яка була в зайці, який сидів у скрині, яка висіла на дубі. І щоб вбити Чаклуна, треба було звалити дуб, розбити скриню, вбити зайця, вбити качку, розбити яйце і нарешті зламати голку. Приблизно за таким «алгоритмом» послідовного діставання і диференціюється складна функція.

Параметрично задані функції.

У всіх задачах, що розглядалися вище, ми мали справу з функціями, аналітичне задання яких має вид: . Тобто за кожним значенням , знаючи функцію, ми можемо знайти відповідне значення функції . Така формула називається явною. Вона задає безпосередню залежність змінної від змінної . Разом з цим часто доводиться мати справу з іншими видами аналітичного задання функції. Зокрема, з так званим параметричним заданням. Полягає воно в тому, що між змінними та не встановлюється безпосередня залежність, а кожна з цих змінних задається як функція третьої змінної , яка називається параметром:

.

Розглянемо приклади:

1. Нехай точка рухається по координатній площині від моменту часу до моменту . Траєкторією її є деяка лінія на цій площині. (рис.20). Координати точки змінюються з часом: тобто у кожен момент часу точка має свої координати. Тому ми можемо сказати, що координати точки являються функціями часу:

Рис. 20

.

Ці рівняння задають у параметричному вигляді лінію як траєкторію руху точки . У якості параметра тут виступає час. Такий опис руху матеріальної точки широко використовується у задачах механіки.

2. Коло.

Розглянемо коло радіуса з центром у початку координат (рис.21).

Рис. 21

Якщо – довільна точка кола, то її прямокутні декартові координатні пов’язані рівнянням: .

З’єднаємо точку з початком координат радіусом і позначимо через кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді

.

Це й є параметричні рівняння кола.

3. Еліпс.

Розглянемо еліпс з півосями (рис. 22). Рівняння цього еліпса у прямокутній декартовій системі координат має вид:

.

Рис. 22

Як і у випадку кола, з’єднаємо довільну точку на еліпсі радіусом з початком координат і позначимо через кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді можемо отримати параметричні рівняння еліпса:

.

Від явного задання функції завжди можна перейти до параметричного:

.

Але від параметричного рівняння до явного перейти вдається далеко не завжди. Можливо це тоді, коли рівняння вдається розв’язати відносно змінної : . Тобто до функції знайти обернену . Тоді, підставляючи її до другого параметричного рівняння, отримаємо: , тобто перейшли до явного рівняння.

Існують лінії, рівняння яких найчастіше задається саме у параметричній формі.

4. Циклоїда.

Розглянемо у прямокутній декартовій системі координат коло з центром у точці і радіусом (рис. 23).

Рис. 23

Тоді вісь буде дотичною до цього кола. Тепер припустимо, що коло котиться вздовж осі . Яку траєкторію буде описувати точка на колі? Такою траєкторією буде лінія, яка називається циклоїдою. Її параметричні рівняння мають вид:

.

Тут у якості параметра виступає кут повороту кола. Якщо він змінюється на проміжку , тобто коло повертається на , то описується перша арка циклоїди, якщо , то описуються дві арки тощо.

Розглянемо питання про диференціювання параметрично заданої функції:

.

Теорема. Нехай функції задовольняють умови:

1) ці функції неперервні на і неперервно диференційовні на ,

2) .

Тоді має місце рівність:

.

Доведення. З того, що на випливає, що на або , або . Тоді функція строго монотонна на , і має обернену функцію , причому:

.

Тоді , і за формулою для похідної складної функції маємо:

.

Приклад. Знайти , якщо .

Ці рівняння описують так звану астроїду (рис. 24).

Рис. 24

Маємо:

.

Ще один спосіб аналітичного задання функції – так званий неявний спосіб. Тут залежність між змінними та задається у вигляді деякого рівняння, яке пов’язує ці змінні:

.

Щоб продиференціювати таку функцію, потрібно взяти похідну від обох частин останньої рівності, вважаючи функцією від , і отримане рівняння розв’язати відносно . Похідна від неявної функції виражається через незалежну змінну і саму функцію .

Приклад. Знайти , якщо .

Візьмемо похідну від обох частин цієї рівності:

.

Або:

.

Звідси:

.

Лекція 5. Диференціал функції, його застосування до наближених обчислень. Рівняння дотичної до графіка функції. Похідні та диференціали вищих порядків.

Пригадаємо означення диференційовної функції. А саме, функція диференційовна у точці , якщо її приріст у цій точці може бути зображений у вигляді (див. лекцію 2):

, де при . Далі ми встановили, що .

Перший доданок виразу для лінійний відносно , тобто пропорційний з коефіцієнтом пропорційності . А другий доданок є нескінченно малою вищого порядку, ніж при . Він не є лінійним відносно . Якщо мале число, то цей доданок буде значно меншим, ніж перший. Тому перший, лінійний відносно доданок, називають головною частиною приросту функції. При малих величина приросту буде визначатися, головним чином, саме цим доданком. Цей доданок отримав назву диференціала функції і позначається . Таким чином, за означенням:

.

Покладемо в цій рівності , тоді , і , тобто диференціал незалежної змінної збігається з її приростом. З урахуванням цього:

.

Така форма запису диференціала найбільш поширена. Зокрема з неї випливає рівність:

.

Розглянемо приклади:

1. Знайти диференціал функції .

Маємо:

.

2. Знайти диференціал функції

а) при довільних і

б) при .

Маємо:

а)

.

б) .

Всю таблицю похідних (лекція 3) можна переписати як таблицю диференціалів:

Відмітимо деякі важливі властивості диференціалів:

,

,

.

Ці властивості безпосередньо випливають з відповідних властивостей похідних. Ще одна, особливо важлива, властивість диференціала випливає з правила диференціювання складної функції. А саме, розглянемо складну функцію і знайдемо її диференціал:

.

Тобто диференціал 1-го порядку зберігає свою форму запису незалежно від того, чи є незалежною змінною, чи є функцією іншої змінної. Ця властивість диференціала називається його інваріантністю.

Застосування диференціала у наближених обчисленнях.

Розглянемо приріст диференційовної функції у точці :

, де при .

Або:

.

Як вже відмічалося, доданок при малих значно менший, ніж доданок . Тому при певних умовах ним можна нехтувати, і тоді отримуємо наближену рівність:

.

Позначивши: , цю рівність можна переписати так:

. (*)

Ця формула є основою для наближених обчислень. Користуються нею так: нехай треба наближено знайти значення функції у точці , тобто . Шукають іншу точку , яка не дуже значно відрізняється від точки (тобто величина мала), у якій відомо точне значення функції , а також відомо значення похідної цієї функції. І тоді значення наближено знаходять за формулою (*).

Приклади. Розглянемо функцію . Тоді . Покладемо , де – деяке мале за модулем число. Тоді формула (*) приймає вид:

.

Цю формулу можна використовувати як наближену для обчислення квадратних коренів. Користуючись нею, знайдемо наближено . Маємо:

.

Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: .

2. Розглянемо функцію . Формула (*) дає:

.

Обчислимо, наприклад, . Візьмемо: , і тоді:

.

Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: 0, 77017.

Формулою (*) користуються, як правило, тоді, коли потрібна не дуже висока точність обчислень. В протилежному випадку користуються іншими формулами, які забезпечують вищу точність. Відповідні питання розглядаються в курсах чисельних методів.

Геометричний зміст диференціала тісно пов’язаний з дотичною до графіка функції. Розглянемо графік диференційовної у точці функції (рис. 25).

Рис. 25

Проведемо в точці дотичну. Рівняння її в формі з кутовим коефіцієнтом має вид:

, де (пригадаємо геометричний зміст похідної). Оскільки ця пряма проходить через точку , її рівняння приймає вид:

. (**)

Це й є рівняння дотичної до графіка функції.

Надамо значенню приріст . Тоді функція отримає приріст . Лінійна функція (**), яка є рівнянням дотичної, також отримає приріст:

, а це не що інше, як диференціал функції у точці . На рис.25 це довжина катета в прямокутному трикутнику .

Таким чином, з геометричної точки зору диференціал функції в точці означає приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці .

З’ясуємо тепер механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається вздовж координатної прямої. Позначимо через – координату точки у момент часу (рис.3, лекція 1). Тоді згідно з механічним змістом похідної – це миттєва швидкість точки у момент . Добуток , тобто саме , дає шлях, який пройшла б точка за проміжок часу , якби рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю . Цей є механічний зміст диференціала. Фактично ж шлях , який пройдено точкою за проміжок часу , відрізняється від на нескінченно малу (при ) вищого порядку, ніж . Але, якщо досить мале, то швидкість не встигає суттєво змінитися, і рух точки на проміжку є майже рівномірним.

Приклади.

1. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у точці .

Користуючись рівнянням (**), отримаємо:

, і шукане рівняння має вид:

.

Або:

.

2. Координати точки у момент часу виражається формулою: . Знайти наближено шлях, який пройдено точкою від моменту часу до моменту часу .

Маємо: ,

.

Справжній шлях дорівнює:

.

Похідні та диференціали вищих порядків.

Нехай функція диференційовна на інтервалі . Її похідна теж уявляє собою функцію від . Якщо ця функція також диференційовна на , то від неї також можна взяти похідну, тобто знайти . Ця похідна називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Якщо у свою чергу диференційовна на , то і від неї також можна взяти похідну , яка позначається і називається похідною третього порядку від функції . Далі аналогічно:

– похідна 4-го порядку,

– похідна 5-го порядку,

…

– похідна –го порядку.

Покажчик порядку похідної пишеться у дужках, щоб відрізняти його від покажчика степеня.

Приклади.

1. Знайти , якщо .

Маємо:

,

,

.

І продовжуючи так далі, отримаємо:

.

Зокрема: .

2. Знайти , якщо .

Маємо:

;

;

;

.

3. Знайти , якщо .

Маємо:

;

;

.

Похідні другого порядку можна знайти й від функцій, заданих в параметричній формі. Нехай:

, де функції неперервні і неперервно диференційовні на , і крім того . Тоді (див. лекцію 4):

.

Якщо функції двічі неперервно диференційовні на , то

.

Аналогічно можна знаходити і похідні вищих порядків.

Приклад. Знайти , якщо .

Маємо:

, ;

, .

Отже:

(пропущені спрощення проведіть самостійно).

І нарешті розглянемо випадок функції, заданої неявно.

Приклад. Знайти , якщо .

Маємо: , звідки:

.

Далі:

.

Похідна другого порядку має простий механічний зміст. Якщо – координата матеріальної точки в момент часу , то похідна , як ми встановили раніше, дорівнює швидкості точки в цей момент часу: . А друга похідна характеризую швидкість зміни швидкості і дорівнює миттєвому прискоренню точки в момент часу .

Приклад. Знайти прискорення точки в момент часу , якщо рух точки відбувається згідно з законом: .

Маємо: ;

.

Звідси: .

Аналогічно похідним можна також знаходити і диференціали вищих порядків.

Означення. Диференціалом другого порядку від двічі диференційовної функції називається диференціал від диференціала 1–го порядку цієї функції.

Позначається диференціал 2–го порядку символом . Тобто:

.

Оскільки не залежить від , то , як константу, можна виносити за знак похідної, і тоді отримуємо:

.

Звідси:

.

Аналогічно визначаються і диференціали вищих порядків:

,

,

.

З останнього виразу маємо:

.

Зауважимо, що, на відміну від диференціалу 1–го порядку, диференціали 2–го і більш високих порядків вже не мають властивість інваріантності, тобто рівність при справджується лише тоді, коли являється незалежною змінною. Якщо ж у свою чергу являється функцією іншої змінної, то ця рівність не має місця. Дійсно, нехай , тоді . Отже

, тобто форма диференціала не зберігається.

Приклад. Знайти , якщо .

Маємо: ,

,

.

Таким чином:

.

Лекція 6. Основні теореми диференціального числення.