Література. по курсу вищої математики

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Конспект лекцій

по курсу вищої математики

для студентів 1–го курсу ГГФ (спец. географія)

Одеса, 2006

Передмова.

Даний конспект є складовою частиною серії конспектів лекцій по курсу вищої математики, який читається автором на 1­–му курсі геолого–географічного факультету ОНУ для студентів спеціальності «географія». Він являється безпосереднім продовженням конспекту лекцій «Вступ до аналізу» і містить чисельні посилання на нього. Основи математичного аналізу уявляють собою основну частину курсу вищої математики, оволодіння якою необхідно студентам будь якої природничої спеціальності.

Викладення теоретичного матеріалу супроводжується досить великою кількістю прикладів, як ілюстративних, так і більш складних. Розглядаються також задачі прикладного характеру.

Значна увага приділяється викладенню теми «Формула Тейлора». На жаль при викладанні вищої математики для природничих спеціальностей ця тема майже не висвітлюється і фактично переноситься в розділ «Ряди», де викладається в темі «Ряди Тейлора і Маклорена». Положення ускладнюється тим, що студенти, як правило, дуже складно сприймають формулу Тейлора, мабуть внаслідок її громіздкості, якщо виписувати її детально. У даному конспекті зроблено спробу викласти цю формулу досить доступно, а також показати численні її застосування.

Автор сподівається, що даний конспект, разом з іншими посібниками і практичними заняттями сприяє оволодінню студентами основ диференціального числення.

Література.

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. К.: Вища школа, 1993.

2. Призва Г.Й., Плахотник В.В. та ін. Вища математика. Основні розділи. К.: Либідь, 2003.

3. Соколенко О.І. Вища математика. К., 2004.

4. Кудрявцев В. А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математикаи. М.: Астрель, 2004.

5. Шипачёв В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.

6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

7. Самнер Г. Математика для географов. М.: Прогресс, 1981.

8. Костин А.В. Кореновский А.А., Щёголев С.А. Исследование и построение графиков функций. Одесса, 1995.

Лекція 1. Задачі які приводять до поняття похідної.

Диференціальне числення – це розділ математики, в якому вивчається дослідження функцій за допомогою нескінченно малих (див. розділ «Вступ до аналізу»).

Деякі задачі диференціального числення були поставлені та розв’язані ще у стародавні часи. Але загальні методи були розроблені І, Ньютоном та Г. Лейбніцем у XYII ст. А у XIX ст. у працях О.Коші, К.Вейєрштрасса та ін. було дано обґрунтування цих методів на підставі теорії границь.

Центральним поняттям диференціального числення являється поняття похідної. Розглянемо декілька задач, які приводять до цього поняття.

1. Задача про дотичну до графіка функції.

Розглянемо деяку криву лінію (рис. 1) і візьмемо на цій кривій точки і . Пряму , яка проходить через ці точки, називають січною. Тепер припустимо, що точка починає рухатись вздовж кривої , наближаючись

до точки . Відстань прямуватиме до нуля.

Рис. 1

Граничне положення січної називається дотичною до кривої у точці .

Розглянемо тепер графік деякої функції і візьмемо на ньому точку (рис.2). Надамо значенню приріст і відмітимо на графіку точку . Функція отримає приріст . Проведемо через точки і січну . Кут , величину якого позначимо через – це гострий кут у прямокутному трикутнику , де точка має координати . З відомих співвідношень у прямокутному трикутнику маємо:

.

Нехай тепер . Тоді точка , рухаючись вздовж графіка функції, прямує до точки , і січна , повертаючись навколо точки , переходить в дотичну . Кут при цьому прямує до деякого граничного положення . Тобто можемо записати:

.

Тоді. оскільки функція неперервна при , отримаємо, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює:

.

Рис. 2

Отриману границю називають похідною функції у точці . Нижче ми побачимо, що до таких же границь приводять і багато інших задач.

2. Задача про миттєву швидкість точки.

Нехай матеріальна точка рухається вздовж деякої координатної прямої (рис. 3).

Рис. 3

Позначимо через – координату точки у момент часу . Нехай за проміжок часу точка пройшла відстань . Тоді середня швидкість точки на протязі проміжку часу дорівнює:

.

Але це саме середня швидкість. Разом з цим на протязі часу точка може рухатися нерівномірно: спочатку, наприклад, швидко, потім повільно, а певний час взагалі стояти на одному місці, потім знову швидко (приблизно так відбувається рух транспорту по міським вулицям). Таким чином середня швидкість не є достатньо адекватною характеристикою руху. Тому часто виникає задача знаходження швидкості не на протязі якогось проміжку часу, а в будь який момент часу, тобто так званої миттєвої швидкості. Як її можна знайти? Як границю значення середньої швидкості при прямуванні проміжку до нуля, тобто:

.

Як бачимо, з точністю до позначень вийшла точно така сама границя, що й у задачі про дотичну, тобто виникла та ж сама похідна.

3. Задача про густину неоднорідного стрижня.

Розглянемо тонкий прямолінійний стрижень довжини (рис. 4) і розмістимо його на осі так, щоб лівий його кінець збігався з початком координат. Будемо вважати стрижень неоднорідним, тобто його густина не є сталою, а змінюється від точки до точки.

Рис. 4

Позначимо через масу частини стрижня, що розташована між початком координат і точкою з координатою . Розглянемо точку з координатою . Тоді маса частини стрижня між точками та :

.

Середньою густиною стрижня на відрізку називають відношення:

.

Лінійною густиною стрижня у точці називають границю

, тобто знову прийшли до похідної.

4. Задача про швидкість хімічної реакції.

Нехай – кількість речовини, що вступає в хімічну реакцію у момент часу . За проміжок часу довжиною ця кількість змінилася і дорівнює тепер . Середньою швидкістю реакції за проміжок часу називається відношення:

.

Границя середньої швидкості при є швидкість реакції у момент часу :

.

Легко помітити, що знову виникає похідна.

5. Задача про інтенсивність виробництва.

Нехай – обсяг виробництва деякої галузі промисловості у момент часу . За проміжок часу цей обсяг змінюється і становить . Приріст обсягу виробництва дорівнює .

Середньою інтенсивністю виробництва називається відношення:

.

Інтенсивність виробництва у момент часу знайдеться як границя середньої інтенсивності при , тобто:

.

І знову та ж сама похідна.

Отже ми навели декілька прикладів – з геометрії, фізики, хімії, економіки. І всі вони привели до одного й того поняття – похідної. Існує ще ціла низка задач, які приводять до того ж поняття. Це добре ілюструє факт універсальності математичних понять і методів: різнорідні за своєю природою реальні процеси можуть описуватись одною й тою ж математичною моделлю. У цьому, зокрема, полягає сила математики. Як зауважив видатний французький математик Анрі Пуанкаре, «математика – це мистецтво давати різним речам одне й те ж найменування».

А тепер ми можемо відійти від конкретного змісту задачі і розглянути її в абстрактному сенсі.

Нехай на деякому числовому проміжку задано функцію . Візьмемо довільну точку і надамо приросту такого, щоб точка також належала проміжку . Тоді функція отримає приріст .

Означення. Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна позначається одним з символів:

Таким чином, за означенням:

.

Користуючись цим означенням, розв’язки задач 1–5, що розглянуті вище, можна тлумачити так:

1. Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у точці дорівнює похідній у цій точці:

.

У цьому полягає геометричний зміст похідної.

2. Миттєва швидкість точки в момент часу дорівнює похідній від її координати в цей момент часу:

.

У цьому полягає механічний зміст похідної. У задачах механіки похідну частіше позначають точкою: .

3. Лінійна густина стрижня у точці з координатою дорівнює похііній від маси частини стрижня, що відповідає проміжку :

.

4. Швидкість хімічної реакції у момент часу дорівнює похідній від кількості речовини у цей момент часу:

.

5. Інтенсивність виробництва у момент часу дорівнює похідній від обсягу виробництва у цей момент часу:

.

Розглянемо приклади.

1. Знайти похідну функції (сталої).

Маємо для довільного :

.

Тобто похідна сталої функції дорівнює нулю.

2. Знайти похідну функції .

Маємо для довільного :

.

3. Знайти похідну функції . Знайти значення цієї похідної у точці .

Маємо для довільного :

.

Зокрема, якщо , то

.

4. Знайти похідну функції .

Маємо для довільного :

(внаслідок першої важливої границі і неперервності функції ).

5. Знайти похідну функції .

Маємо для довільного :

(на підставі третьої супутньої границі – див. розділ «Вступ до аналізу»).

Як ми відповімо на таке питання: чому дорівнює похідна функції ? Деякі не зовсім уважні студенти, керуючись останнім прикладом, відповідають, що похідна дорівнює . А як вважаєте ви?

Лекція 2. Диференційовність функції в точці, її зв’язок з