Похідні основних елементарних функцій.

Розглянемо питання про похідну складеної функції .

Теорема. Нехай функція диференційовна у точці , а функція диференційовна у відповідній точці . Тоді складена функція диференційовна у точці , і має місце формула:

.

Доведення. Оскільки функція диференційовна у точці , то її приріст у цій точці має вид:

, де при . Оскільки функція диференційовна у точці , то її приріст у цій точці має вид:

, де при . Тоді:

.

Поділимо обидві частини цієї рівності на і перейдемо до границі при . Тоді внаслідок неперервності функції , що у свою чергу випливає з її диференційовності, і отже . Тоді маємо:

,

Або:

.

Теорему доведено.

Приклади.

1. Знайдемо похідну функції . Ця функція є суперпозицією функцій і . Таким чином за доведеною теоремою:

.

2. Знайти похідну функції .

Це теж суперпозиція функцій і . Тому:

.

Розглянемо тепер питання про похідну оберненої функції. Пригадаємо, як ми визначали поняття функції (див. розділ «Вступ до аналізу»). Якщо кожному значенню аргумента з множини за певним законом поставлено у відповідність одне і тільки одне значення з множини , то ми кажемо, що на множині задано функцію .

Підкреслимо, що тут ми вимагаємо, щоб кожному значенню відповідало тільки одне значення . Але не забороняється ситуація, коли двом різним значенням аргумента відповідало одне й те ж значення функції. Наприклад, для функції різним значенням аргумента відповідає одне й те ж значення нашої функції. А для функції навіть нескінченній кількості різних значень аргумента відповідає одне й те ж значення функції.

Припустимо тепер, що для кожного значення функції існує тільки одне значення аргумента таке, що . Тобто двом різним значенням аргумента відповідають різні значення функції (рис. 12).

Рис.12

Тепер кожному значенню поставимо у відповідність елемент такий, що (тепер він єдиний). Тоді на множині визначено функцію , яка називається оберненою до функції . Таким чином, якщо , то .

Очевидно, що водночас функція буде оберненою до функції , і справджуються тотожності: .

Як знайти обернену функцію? Для цього треба розв’язати відносно рівняння (якщо це можливо). Оскільки кожна точка кривої є водночас точкою кривої , то графік функції співпадає з графіком функції . Тільки якщо у випадку за відомим значенням встановлюється значення (рис. 13а), то у випадку за відомим встановлюється значення (рис. 13б).

а б

Рис. 13

Припустимо тепер, що у виразі змінні та змінені місцями, тобто розглянемо функцію . Тоді кожна точка кривої стане точкою кривої . Оскільки в системі координат точки і симетричні відносно прямої , то графіки взаємно обернених функцій також симетричні відносно цієї прямої, тобто бісектриси 1–го та 3–го координатних кутів (рис. 14).

Рис. 14

З означення оберненої функції випливає, що функція має обернену тоді і тільки тоді, коли ця функція задає взаємно однозначну відповідність між множинами та . Таку властивість мають, зокрема, зростаючі та спадні функції. Дійсно, для зростаючої функції з нерівності випливає нерівність , а для спадної з нерівності випливає нерівність . Таким чином, будь яка строго монотонна функція має обернену. При цьому, якщо функція зростає (спадає), то обернена функція також зростає (спадає).

Приклади.

1. Розглянемо функцію . Тоді звідси: – обернена до неї. Змінюючи в цій рівності та місцями, отримаємо: . Зображуємо графіки функцій та в одній системі координат і переконуємось в тому, що вони симетричні відносно прямої (рис. 15).

Рис. 15

2. До функції оберненою є функція (тут вже змінили місцями та ). Для цієї функції (рис. 16).

Рис. 16

3. Побудуємо обернену до функції . Одразу це зробити неможливо, оскільки, як ми зауважили вище, одному й тому ж значенню функції відповідає безліч значень аргумента (внаслідок періодичності). Тому спочатку ми повинні звузити область визначення цієї функції. Власне розглянути іншу функцію, яку визначено лише на відрізку , і на цьому відрізку її значення співпадають зі значеннями функції . Така функція має обернену функцію . Для неї (рис.17).

Рис. 17

4. Існують функції, які є оберненими до самих себе. Виникає така ситуація тоді, коли розв’язок рівняння має вид . Наприклад, такими є функції , . Графіки таких функцій самі симетричні відносно прямої . На рис. 18 зображено графік функції .

Рис. 18

Теорема. Нехай функція задовольняє умови:

1) ,

2) функція строго монотонна на ,

3) функція диференційовна на ,

4) .

Тоді існує обернена функція , диференційовна на інтервалі , причому :

.

Доведення. Існування функції , оберненої для функції , випливає з строгої монотонності функції . Як ми зауважили вище, тоді має місце тотожність:

.

Диференціюючи цю рівність по , враховуючи формулу для похідної складної функції, матимемо:

.

З цієї рівності отримуємо потрібне. Теорему доведено.

Ця теорема має простий геометричний зміст. Розглянемо графік функції (рис. 19). Та ж сама лінія буде і графіком функції . З геометричного змісту похідної випливає, що:

.

Рис. 19

Але , тобто .

Перейдемо тепер до обчислення похідних основних елементарних функцій.

1. Похідна степеневої функції.

(на підставі першої супутньої границі).

Зокрема:

.

2. Похідна показникової функції.

(на підставі 2–ї супутньої границі).

Зокрема (на підставі того, що ) має місце формула:

.

Тобто функція не змінюється при диференціюванні. Дуже цікавий результат. З цього приводу є такий старий анекдот, який розповідають студентам лектори з вищої математики на протязі десятків років. Один математик якось потрапив у будинок для божевільних з діагнозом «манія диференціювання»: він всіх диференціював направо і наліво. Оце ґвалтування продовжувалось поки в той самий будинок не потрапив інший математик. Перший математик до нього підбігає і кричить: «Я тебе зараз продиференцюю!» А той відповідає: «А я тебе не боюся. Я ».

3. Похідна логарифмічної функції.

В лекції 2 ми вивели, що . Звідси випливає, що

.

4. Похідні тригонометричних функцій.

Як показали вище: . Звідси:

.

Користуючись формулою для похідної частки, маємо:

.

Аналогічно отримуємо:

.

5. Похідні обернених тригонометричних функцій.

Користуючись теоремою про похідну оберненої функції, виведемо формули для похідних функцій .

Для функції оберненою є функція , область визначення якої звужена до відрізку . Тому маємо:

, оскільки при .

Аналогічно:

.

Для функції оберненою є функція , область визначення якої звужено до інтервалу . Тому:

.

Аналогічно отримуємо:

Зведемо тепер всі формули до єдиної таблиці.

Таблиця похідних основних елементарних функцій.

Лекція 4. Логарифмічне диференціювання. Приклади на