Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Постановка задачи. Цель работы— изучение методов численного дифференцирования, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционногоСтр 1 из 2Следующая ⇒
Задание №3 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Цель работы — изучение методов численного дифференцирования, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционного многочлена Ньютона. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Одной из распространенных задач вычислительной математики, имеющей разнообразные приложения, является численное дифференцирование. Пусть задана сеточная функция
где Rm (х)— остаточный член (погрешность) интерполяционного многочлена Рт (х). Дифференцируя равенство (5.2), находим
Тогда остаточный член (погрешность) производной Qm, k (x) равняется производной остаточного члена (погрешности) интерполяционного многочлена: Производные (5.4) называются конечно-разностными. На практике наиболее часто используются равномерные сетки, т.е. сетки с равноотстоящими узлами. На таких сетках полученные указанным методом первая и вторая конечно-разностные производные в узлах хj, с погрешностью О (h 2) относительно шага сетки h даются формулами: В граничных узлах с номерами j = 0 и j=n приходится вычислять так называемые односторонние производные, выбирая узлы интерполирования только с одной стороны от граничного узла. На равномерной сетке формулы второго порядка для первой и второй производных имеют вид:
Как видно из формул, в односторонних производных для достижения той же точности требуется больше узлов. Для выполнения лабораторной работы предварительно составляется таблица значений (5.1) одной из заданных ниже функций у (х)в равноотстоящих узлах на отрезке 0 ≤ x ≤ 1. Значения п выбираются в диапазоне n = 20 -100. Затем вычисляются точные у'j, у" j (аналитически)и приближенные и значения первой и второй производных, полученные по приведеннымвыше формулам. Во всех узлах находятся максимальные и среднеквадратичные значения погрешности численного дифференцирования, а также номера узлов jk, max, в которых достигаются значения ε k, max(k= 1, 2). ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ y(x)
|