![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Постановка задачи. Цель работы— изучение методов численного дифференцирования, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционногоСтр 1 из 2Следующая ⇒
Задание №3 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Цель работы — изучение методов численного дифференцирования, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционного многочлена Ньютона. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Одной из распространенных задач вычислительной математики, имеющей разнообразные приложения, является численное дифференцирование. Пусть задана сеточная функция
![]()
где Rm (х)— остаточный член (погрешность) интерполяционного многочлена Рт (х). Дифференцируя равенство (5.2), находим
![]()
![]() Тогда остаточный член (погрешность) производной Qm, k (x) равняется производной остаточного члена (погрешности) интерполяционного многочлена: Производные (5.4) называются конечно-разностными. На практике наиболее часто используются равномерные сетки, т.е. сетки с равноотстоящими узлами. На таких сетках полученные указанным методом первая и вторая конечно-разностные производные в узлах хj, с погрешностью О (h 2) относительно шага сетки h даются формулами: В граничных узлах с номерами j = 0 и j=n приходится вычислять так называемые односторонние производные, выбирая узлы интерполирования только с одной стороны от граничного узла. На равномерной сетке формулы второго порядка для первой и второй производных имеют вид:
Как видно из формул, в односторонних производных для достижения той же точности требуется больше узлов. Для выполнения лабораторной работы предварительно составляется таблица значений (5.1) одной из заданных ниже функций у (х)в равноотстоящих узлах на отрезке 0 ≤ x ≤ 1. Значения п выбираются в диапазоне n = 20 -100. Затем вычисляются точные у'j, у" j (аналитически)и приближенные Во всех узлах находятся максимальные и среднеквадратичные значения погрешности численного дифференцирования, а также номера узлов jk, max, в которых достигаются значения ε k, max(k= 1, 2). ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ y(x)
|