Постановка задачи. Цель работы— изучение методов численного дифференцирования, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционного

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Задание №3

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Цель работы — изучение методов численного дифференцирования, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционного многочлена Ньютона.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Одной из распространенных задач вычислительной математики, имеющей разнообразные приложения, является численное дифференцирование. Пусть задана сеточная функция

(5.1)

(5.2)

определенная на множестве узлов х_j, (j = 0, 1,..., n). Для вычисления производной у ^(к)(х)порядка k (k =1, 2,...) в некоторой течке х выберем т +1 (m≥ k)узлов в окрестности этой точки и построим интерполяционный многочлен Р_т (х)степени т (например, многочлен Ньютона (смотри задание №3), проходящий через все выбранные узлы:

где R_m (х)— остаточный член (погрешность) интерполяционного многочлена Р_т (х). Дифференцируя равенство (5.2), находим

(5.3)

(5.4)

Примем теперь в качестве приближенного значения производной

производную многочлена:

Тогда остаточный член (погрешность) производной Q_m_,_k (x) равняется производной остаточного члена (погрешности) интерполяционного многочлена:

Производные (5.4) называются конечно-разностными. На практике наиболее часто используются равномерные сетки, т.е. сетки с равноотстоящими узлами. На таких сетках полученные указанным методом первая и вторая конечно-разностные производные в узлах х_j, с погрешностью О (h ²) относительно шага сетки h даются формулами:

В граничных узлах с номерами j = 0 и j=n приходится вычислять так называемые односторонние производные, выбирая узлы интерполирования только с одной стороны от граничного узла. На равномерной сетке формулы второго порядка для первой и второй производных имеют вид:

Как видно из формул, в односторонних производных для достижения той же точности требуется больше узлов.

Для выполнения лабораторной работы предварительно составляется таблица значений (5.1) одной из заданных ниже функций у (х)в равноотстоящих узлах

на отрезке 0 ≤ x ≤ 1. Значения п выбираются в диапазоне n = 20 -100.

Затем вычисляются точные у'_j, у" _j (аналитически)и приближенные и значения первой и второй производных, полученные по приведеннымвыше формулам.

Во всех узлах находятся максимальные

и среднеквадратичные

значения погрешности численного дифференцирования, а также номера узлов j_k_, _max, в которых достигаются значения ε _k_, _max(k= 1, 2).

ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ y(x)

12 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2025 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал