Суть методов численного интегрирования

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Суть методов численного интегрирования

Пусть функция у=f(x) (f(x)> 0) непрерывна для хÎ [a, b], тогдаопределенный интеграл пропорционален площади криволинейной трапеции, образованной подынтегральной функцией на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на n равных отрезков с шагом h. Криволинейная трапеция соответственно разобьется на n элементарных криволинейных трапеций. Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменяем другой фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто, например прямоугольником или линейной трапецией (метод прямоугольников и метод трапеций). Сумма площадей этих фигур (интегральная сумма) даст приближенное значение искомого интеграла.

Таким образом, можно записать формулы

для метода входящих прямоугольников	для метода выходящих прямоугольников
Следует заметить, что при вычислении суммы площадей фигур по методу входящих прямоугольников не учитывается последняя точка отрезка, а по методу выходящих прямоугольников – первая точка.
для метода средних прямоугольников	а для метода трапеций

где x₀ =a, x _i+1=x _i+h, y_i=f(x_i), i=0, 1, 2, ……, n-1.

Вычисления могут сопровождаться значительными погрешностями. Для снижения погрешности следует уменьшить шаг интегрирования (метод половинного шага), либо использовать более точные методы.