I. Элементы линейной и векторной алгебры (к. р. №1).

Высшая математика

Контрольные задания

Красноярск - 2001

Варианты контрольных заданий

В таблицах 1–3 приведены номера задач, входящих в задания контрольной работы № 1 “Элементы линейной и векторной алгебры”, контрольной работы № 2 “Аналитическая геометрия” и контрольной работы № 3 “Введение в математический анализ”. Студент должен выполнять контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его зачетной книжки.

Таблица 1

Контрольная работа № 1

Таблица 2

Контрольная работа № 2

Таблица 3

Контрольная работа № 3

Условия заданий контрольных работ

I. Элементы линейной и векторной алгебры (к. р. №1).

1–10. Вычислить определитель четвертого порядка.

11–20. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) матричным методом.

21–30. Записать систему линейных уравнений по ее расширенной матрице G. Исследовать совместность полученной системы и решить ее методом Гаусса.

31–40. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AC; 2) площадь и высоту BF треугольника BCD; 3) объем пирамиды ABCD и высоту, опущенную из точки A на грань BCD.

41–50. Даны векторы в некотором базисе. Найти:

1) проекцию вектора на вектор ;

2) векторное произведение .

Проверить, образуют ли векторы базис? Если да, то какой базис: левый или правый?

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51–60. Пусть – координаты произвольного вектора линейного пространства, заданные в некотором базисе. Известен закон изменения координат вектора под действием преобразования .

1. Доказать, что – линейное преобразование.

2. Составить матрицу линейного преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты вектора .

3. Найти образ вектора и прообраз вектора под действием преобразования .

4. Найти собственные векторы и собственные значения преобразования .

51. ; ; .

52. ; ; .

53. ; ; .

54. ; ; .

55. ; ; .

56. ; ; .

57. ; ; .

58. ; ; .

59. ; ; .

60. ; ; .

II. Элементы аналитической геометрии (к.р. №2)

61. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P(–1; 0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

62. Даны уравнения одной из сторон ромба x–3y+10=0 и одной из его диагоналей x+4y–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке P(0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

63. Уравнения двух сторон параллелограмма x+2y+2=0 и x+y–4=0, а уравнение одной из его диагоналей x–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.

64. Даны две вершины A(–3; 3) и B(5; –1) и точка D(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

65. Даны вершины A(–3, –2), B(4; –1), C(1; 3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

66. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x–4y+15=0 и 4x+y–9=0. Его медианы пересекаются в точке P(0; 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

67. Даны вершины A(2, –2), B(3; –1), P(1; 0) пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.

68. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин A(0; 2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

69. Даны уравнения двух медиан треугольника x–2y+1=0 и y–1=0 и одна из его вершин A(1; 3). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

70. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

71. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки А(5; 0) относятся как 2: 1.

72. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x=–4.

73. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5: 4.

74. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4; 0), чем от точки B(1; 0).

75. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2; 0)и от прямой 2x+5=0 относятся как 4: 5.

76. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3; 0) вдвое меньше расстояния от точки B(26; 0).

77. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0; 2) и от прямой y–4=0.

78. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки А(3; 0)относятся как 1: 2.

79. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А(2; 6) и от прямой y+2=0.

80. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4; 0) втрое дальше, чем от начала координат.

81–90. Привести заданное уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить ее.

81. 2x²–y²+x+2y=0.

82. x²+y²=2x+4y.

83. 2x²+3y²–4x+6x=0.

84. x²+4y²+1=2y.

85. 2x²+y²+6y=0.

86. 2x–x²+2y²=0.

87. 2x²–y²+4y=0.

88. x+2y–y²=0.

89. 2x²+x+2y²–4y=0.

90. x²+2x+4y²=2.

91–100. Даны уравнение плоскости P Ax+By+Cz+D=0,

канонические уравнения прямой L

и координаты двух точек E и F. Найти: 1) уравнение плоскости, проходящей через точку E параллельно плоскости P; 2) уравнение плоскости, проходящей через точку F перпендикулярно прямой L; 3) угол между плоскостью P и прямой L; 4) расстояние от точки E до плоскости P; 5) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки E и F.

91. P: 5x–y+2z+1=0; E(1, –1, 2), F(1, 3, 3);

92. P: 2x+2y+z–5=0; E(–1, 0, 3), F(0, 2, 2);

93. P: x+5y–z+7=0; E(2, 1, 3), F(0, –1, 2);

94. P: 2x+y–z+6=0; E(2, 3, 4), F(–1, 0, 1);

95. P: 3x+y–5z+4=0; E(1, –3, 2), F(2, 4, 1);

96. P: 2x+5y–4z=0; E(1, 1, 1), F(–1, 0, 3);

97. P: 3x+y–5z–1=0; E(1, 2, –4), F(3, 1, 1);

98. P: 6x–5y+8z+1=0; E(1, 0, 1), F(–1, 3, 2);

99. P: 6x–y+z+3=0; E(–1, 0, –1), F(2, 1, 3);

100. P: 6x+8z–4=0; E(–1, 3, 0), F(2, 1, 2);

101–110. Построить тело, ограниченное заданными поверхностями.

111–120. Линия задана уравнением r=r(j) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам начиная от j=0 до j=2p, придавая значения с шагом p/8; найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

111. . 112. .

113. . 114. .

115. . 116. .

117. . 118. .

119. . 120. .

121–130. Выполнить следующие задания.

1. Решить уравнение .

2. Найти значение выражения .

3. Найти и изобразить на комплексной плоскости корни уравнения .

121. 1. .

2. .

3.

122. 1. .

2. .

3.

123. 1. .

2. .

3.

124. 1. .

2. .

3.

125. 1. .

2. .

3.

126. 1. .

2. .

3.

127. 1. .

2. .

3.

128. 1. .

2. .

3.

129. 1. .

2. .

3.

130. 1.

2.

3.

III. Введение в математический анализ (к. р. №3)

131–140. Найти область определения функции.

141–150. Построить график функции, используя преобразование одной из элементарных функций: , , , .

151–160. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

161–170. Найти точки разрыва функций, исследовать их характер:

а) построить графики функций (схематично);

б) исследовать на непрерывность функцию на соответствующих отрезках.

161. а) ;

б) на отрезках , , .

162. а) ;

б) на отрезках , , .

163. а) ;

б) на отрезках , , .

164. а) ;

б) на отрезках , , .

165. а) ;

б) на отрезках , , .

166. а) ;

б) на отрезках , , .

167. а) ;

б) на отрезках , , .

168. а) ;

б) на отрезках , , .

169. а) ;

б) на отрезках , , .

170. а) ;

б) на отрезках , , .

171–180. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют, исследовать их характер. Сделать чертеж.

171. 172.

173. 174.

175. 176.

177. 178.

179. 180.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1985.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1984.

3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

4. Щипачев В. С. Основы высшей математики. М.: Высш. шк., 1989.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2. М.: Высш. шк., 1986.