Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Пример решения задания №1.
|
|
Пусть требуется решить уравнение: x + cos (x2 + 2) = 0
Составляем таблицу значений функции на интервале [-10, 10] с шагом Н = 0, 5 с целью определения отрезков, на которых функция меняет свой знак.
| х | x2 + 2 | cos (x2 + 2) | x + cos (x2 + 2) |
| -10 | 0, 1016 | -9, 8984 | |
| -9, 5 | 92, 25 | -0, 4141 | -9, 9141 |
| -9 | 0, 2495 | -8, 7505 | |
| -8, 5 | 74, 25 | 0, 4101 | -8, 0899 |
| -8 | -0, 9996 | -8, 9996 | |
| -7, 5 | 58, 25 | -0, 1302 | -7, 6302 |
| -7 | 0, 7422 | -6, 2578 | |
| -6, 5 | 44, 25 | 0, 9644 | -5, 5356 |
| -6 | 0, 9551 | -5, 0449 | |
| -5, 5 | 32, 25 | 0, 6719 | -4, 8281 |
| -5 | -0, 2921 | -5, 2921 | |
| -4, 5 | 22, 25 | -0, 9667 | -5, 4667 |
| -4 | 0, 6603 | -3, 3397 | |
| -3, 5 | 14, 25 | -0, 1126 | -3, 6126 |
| -3 | 0, 0044 | -2, 9956 | |
| -2, 5 | 8, 25 | -0, 3857 | -2, 8857 |
| -2 | 0, 9602 | -1, 0398 | |
| -1, 5 | 4, 25 | -0, 4461 | -1, 9461 |
| -1 | -0, 9900 | -1, 9900 | |
| -0, 5 | 2, 25 | -0, 6282 | -1, 1282 |
| -0, 4161 | -0, 4161 | ||
| 0, 5 | 2, 25 | -0, 6282 | -0, 1282 |
| -0, 9900 | 0, 0100 | ||
| 1, 5 | 4, 25 | -0, 4461 | 1, 0539 |
| 0, 9602 | 2, 9602 | ||
| 2, 5 | 8, 25 | -0, 3857 | 2, 1143 |
| 0, 0044 | 3, 0044 | ||
| 3, 5 | 14, 25 | -0, 1126 | 3, 3874 |
| 0, 6603 | 4, 6603 | ||
| 4, 5 | 22, 25 | -0, 9667 | 3, 5333 |
| -0, 2921 | 4, 7079 | ||
| 5, 5 | 32, 25 | 0, 6719 | 6, 1719 |
| 0, 9551 | 6, 9551 | ||
| 6, 5 | 44, 25 | 0, 9644 | 7, 4644 |
| 0, 7422 | 7, 7422 | ||
| 7, 5 | 58, 25 | -0, 1302 | 7, 3698 |
| -0, 9996 | 7, 0004 | ||
| 8, 5 | 74, 25 | 0, 4101 | 8, 9101 |
| 0, 2495 | 9, 2495 | ||
| 9, 5 | 92, 25 | -0, 4141 | 9, 0859 |
| 0, 1016 | 10, 1016 |
Из полученной таблицы следует, что только на интервале [0, 5; 1] функция меняет свой знак, т е корень уравнения находится внутри этого интервала.
a) Применим метод половинного деления. Отрезок [0, 5; 1] делим пополам, получаем точку х* = 0, 75. Сравниваем значения функции на концах интервала и в найденной точке:
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 5 | -0, 1282 |
| 0, 75 | -0, 0870 |
| 0, 0100 |
Теперь функция меняет знак на интервале [0.75; 1]. Разбиваем его пополам и вычисляем значения функции в точках х = 0, 75; 0, 875; 1
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 75 | -0, 1282 |
| 0, 875 | -0, 0870 |
| 0, 0100 |
Функция меняет знак на интервале [0, 875; 1]. Делим его пополам. Получаем точки: х = 0, 875; 0, 9375; 1
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 875 | -0, 0870 |
| 0, 9375 | -0, 0282 |
| 0, 0100 |
и
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 9375 | -0, 0282 |
| 0, 96875 | -0, 0107 |
| 0, 0100 |
и
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 96875 | -0, 0107 |
| 0, 984375 | -0, 0008 |
| 0, 0100 |
и
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 984375 | -0, 0008 |
| 0, 9921875 | 0, 0045 |
| 0, 0100 |
и
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 984375 | -0, 0008 |
| 0, 98828125 | 0, 0018 |
| 0, 9921875 | 0, 0045 |
и
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 984375 | -0, 0008 |
| 0, 986328125 | 0, 0005 |
| 0, 98828125 | 0, 0018 |
и
| х | x + cos (x2 + 2) |
| 0, 984375 | -0, 0008 |
| 0, 9853515625 | -0, 0001 |
| 0, 986328125 | 0, 0005 |
Т.к. |0, 9853515625 - 0, 986328125| < 0, 001, то процесс закончен и х ≈ 0, 9853515625 ≈ 0, 9854.
b) Применим метод хорд. Вычисляем первое приближение к корню по формуле:
где а = -10 и b = 10.
1. x = -10 – (-9, 8984)* (10 +10) \ (10, 1016 + 9, 8984) = - 0, 1016. Т.к заданная точность не достигнута (f(x) = -0, 5271 по модулю больше, чем 0, 001), то продолжаем процесс, вычисляя следующее значение корня х при а = - 0, 1016 и b = 10:
2. x = - 0, 1016 – (-0, 5271)* (10+ 0, 1016)\(10, 1016 + 0, 5271) ≈ 0, 39936
f (0, 39936) = -0, 1559, что недостаточно точно, т к |-0, 1559|> 0, 001
а = 0, 39936 и b = 10
3. x = 0, 39936 – (-0, 1559) * (10 - 0, 39936) (10, 1016 + 0, 1559) ≈ 0, 54527
f (0, 54527) = -0, 1190, |-0, 1190| > 0, 001
a = 0, 54527 и b = 10
4. x = 0, 54527 – (-0, 1190)* (10 - 0, 54527)\ (10, 1016 +0, 1190) ≈ 0, 65533
f (0, 65533) = -0, 1016
a = 0, 65533 и b = 10
5. x = 0, 65533 – (-0, 1016) * (10 -0, 65533)\(10, 1016 + 0, 1016) ≈ 0, 74838
f(x) = -0, 0872
a = 0, 74838 и b = 10
6. x = 0, 74838 – (-0, 0872)*(10 - 0, 74838)\(10, 1016 +0, 0872) ≈ 0, 82756
f(x) = -0, 0699
a = 0, 82756 и b = 10
7. x = 0, 82756 – (-0, 0699)* (10-0, 82756)\(10, 1016 +0, 0699) ≈ 0, 89041
f(x) = - 0, 0494
a = 0, 89041 и b = 10
8. x = 0, 89041- (- 0, 0494)*(10 - 0, 89041)\ (10, 1016 + 0, 0494) ≈ 0, 93975
f(0, 93975) = -0, 0207
a = 0, 93975 и b = 10
9. x = 0, 93975 – (-0, 0207)* (10 - 0, 93975) \ (10, 1016 + 0, 0207) ≈ 0, 95829
f (0, 95829) = - 0, 0169
a= 0, 95829 и b = 10
10. x = 0, 95829 – (- 0, 0169)*(10- 0, 0169)\(10, 1016 + 0, 0169) ≈ 0, 97496
f(x) = - 0, 0068
a = 0, 97496 и b = 10
11. x = 0, 97496- (- 0, 0068) (10 - 0, 97496)\(10, 1016 + 0, 0068) ≈ 0, 98103
f(x) = -0, 0030
a = 0, 98103 и b = 10
12. x = 0, 98103 – (0, 0030)* (10 - 0, 98103)\ (10, 1016 + 0, 0030) ≈ 0, 98371
f(0, 98371) = -0, 0012
a = 0, 98371 и b = 10
13. x = 0, 98371 - (-0, 0012)*(10- 0. 98371)\(10, 1016+ 0, 0012) ≈ 0, 98478
f(0, 98478) = -0, 0005 – заданная точность достигнута: f(x) < 0, 001
с) Применим метод Ньютона. Найдем начальную точку по формуле:
f' (x) = 1 – sin(x2 +2) * 2x
Тк из ранее полученных результатом, мы знаем в каком отрезке находится корень, для уменьшения вычислений возьмем в качестве х0 = 2. Получим таблицу:
| x | x2 + 2 | f(x)= x + cos (x2 + 2) | f' (x) = 1 – sin(x2 +2) * 2x | хi |
| 6, 00000 | 2, 96017 | 2, 11766 | 0, 60215 | |
| 0, 60215 | 2, 36258 | -0, 10946 | 0, 15389 | 1, 31344 |
| 1, 31344 | 3, 72512 | 0, 47892 | 2, 44734 | 1, 11775 |
| 1, 11775 | 3, 24937 | 0, 12355 | 1, 24046 | 1, 01815 |
| 1, 01815 | 3, 03663 | 0, 02365 | 0, 78666 | 0, 98808 |
| 0, 98808 | 2, 97630 | 0, 00171 | 0, 67484 | 0, 98555 |
| 0, 98555 | 2, 97131 | 0, 00001 | 0, 66597 | 0, 98553 |
| 0, 98553 | 2, 97127 | 0, 00000 | 0, 66590 | 0, 98553 |
Достигнута нужная точность и найден корень уравнения: х = 0.98553.