Геометрична інтерпретація гри теорії гри

Найпростішим випадком скінченої гри є парна гра, коли у кожного учасника є дві стратегії (табл. 1).

Таблиця 1.

Розглянемо випадок, коли гра не має сідловок точки. Отже, . Необхідно знайти змішані стратегії та ціну гри. Позначимо шукані значення ймовірностей застосування «чистих» стратегій гравця А через , а для гравця В – через .

Згідно з основною теоремою теорії ігор, якщо гравець А притримується своєї оптимальної стратегії, то виграш дорівнюватиме ціні гри. Отже, якщо гравець А притримуватиметься своєї оптимальної стратегії , то:

(1)

Оскільки , то . Підставивши цей вираз у систему рівнянь (8.4.1), отримаємо:

.

Розв’язавши дане рівняння відносно невідомого , маємо: , тоді

Провівши аналогічні міркування стосовно гравця В, маємо:

(2.)

Оскільки , то .

.

Розв’язавши це рівняння відносно невідомого , маємо: , тоді

Ціну гри знаходять, підставляючи значення (або ) в будь-яке з рівнянь (1) або (2): .

Задача 1. Знайти розв’язок гри, яка задана матрицею , дати геометричну інтерпретацію цього розв’язку.

Розв’язання. Перевіримо наявність сідлової точки в даній матриці. Для цього знайдемо мінімальні елементи в кожному рядку (2 і 4) й максимальні елементи в кожному з стовбців (6 і 5). Отже, нижня ціна гри , а верхня ціна гри . Оскільки , то розв’язком гри є змішані оптимальні стратегії, а ціна гри знаходиться в межах .

Припустимо, що для гравця А стратегія задається вектором . Тоді при застосуванні гравцем В чистої стратегії В₁ або В₂ гравець А отримає середній виграш, який дорівнює ціні гри, тобто

(при стратегії В₁),

(при стратегії В₂).

Крім цих рівнянь, добавимо рівняння, що зв’язує частоти та :

.

Розв’язуючи отриману систему трьох рівнянь з трьома невідомими знаходимо

Знайдемо тепер оптимальну стратегію для гравця В. Нехай стратегія для даного гравця задається вектором . Тоді

Розв’язуючи цю систему рівнянь, матимемо Отже, розв’язком гри є змішані стратегії та , а ціна гри

Дамо тепер геометричну інтерпретацію розв’язку даної гри. Для цього на площині uOz введемо систему координат й на осі Оu відкладемо відрізок одиничної довжини А₁А₂, кожній точці якого поставимо у відповідність деяку змішану стратегію (мал. 1). Зокрема, точці відповідає стратегія , точці - стратегія і т.д.

Мал. 1.

Через точки та проведемо перпендикуляри й на отриманих прямих будемо відкладати виграш гравців. На перпендикулярі, який співпадає з віссю Оz, відкладемо виграш гравця А при стратегії , а на другому – при стратегії .Якщо гравець А застосовує стратегію , то його виграш при стратегії гравця В дорівнює 2, а при стратегії він дорівнює 5. Числам 2 і 5 на осі Оz відповідають точки та .

Якщо ж гравець А приймає стратегію , то його виграш при стратегії гравця В дорівнює 6, а при стратегії він дорівнює 4. Ці два числа визначають дві точки та на перпендикулярі, проведеного через точку . З’єднуючи між собою точки та , та , матимемо дві прямі, відстань до яких від осі Ou визначає середній виграш при будь-якій комбінації відповідних стратегій. Наприклад, відстань від будь-якої точки відрізка до осі Оu визначає середній виграш при будь-якій комбінації стратегій та (з частотами та ) й стратегії гравця В. Ця відстань дорівнює . Аналогічно, середній виграш при застосуванні стратегії визначається ординатами точок, що належать відрізку .

Таким чином, ординати точок, що належать ламаній М , визначають мінімальний виграш гравця А при застосуванні ним будь-яких змішаних стратегій. Ця мінімальна величина є максимальною в точці М, а отже, цій точці відповідає оптимальна стратегія , а її ордината дорівнює ціні гри . Координати точки М знаходимо як координати точки перетину прямих та . Тобто матимемо три рівняння:

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримаємо:

Аналогічно знаходимо оптимальну стратегію для гравця В. Матимемо таку систему рівнянь:

яка має розв’язок:

Отже, розв’язком гри є змішані стратегії і , а ціна гри .

Підсумовуючи викладене вище, можна вказати основні етапи знаходження розв’язку гри або :

1. Будують прямі, які відповідають стратегіям другого (першого) гравця.

2. Визначають нижню (верхню) границю виграшу.

3. Знаходять дві стратегії другого (першого) гравця, яким відповідають дві прямі, що перетинаються в точці з максимальною (мінімальною) ординатою.

4. Визначають ціну грита оптимальні стратегії.