Скалярное умножение арифметических векторов

Пусть

два арифметических вектора порядка . Скалярным произведением этих векторов называется действительное число, которое обозначается и находится по правилу

(1.7)

В дальнейшем будем также считать, что скалярное произведение двух векторов-строк порядка также вводится по формуле (1.7), т.е.

.

Рассмотрим основные свойства скалярного умножения арифметических векторов.

1) Скалярное произведение симметрично, т.е. для любых и из .

◄ Действительно,

ввиду коммутативности операций умножения в . ►

2) Скалярное произведение аддитивно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых из .

◄ Ввиду предыдущего свойства в доказательстве нуждается лишь одно из приведенных равенств. Покажем, например, справедливость первого равенства, где

Действительно,

. ►

3) Скалярное произведение однородно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых действительных чисел и любых векторов и из .

Арифметический вектор является линейной комбинацией векторов , если найдутся такие действительные числа , что

. (1.8)

Из свойств 2) и 3) скалярного произведения следует, что если вектор имеет вид (1.8), тогда

для любых векторов из и любых действительных чисел . Это свойство называется свойством линейности скалярного произведения по первому сомножителю. Аналогично имеет место свойство линейности скалярного произведения по второму сомножителю. В частности, если наряду с равенством (1.8) справедливо равенство

, где , тогда

.

4) Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат любого арифметического вектора есть число неотрицательное, т.е. . Причём равенство выполняется лишь для .