Умножение матриц

Пусть . Для того чтобы, существовало произведение необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы должно совпадать с числом строк матрицы (или порядок строк матрицы должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.

тогда произведение определено формулой

,

т.е. если , тогда

– элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы равен скалярному произведению -ого столбца матрицы (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы .

Пример 2. Пусть

Так как , то условие согласования для матрицы выполнено и

.

Отметим также, что произведение в данном случае не существует, так как для него не выполнено условие согласования.

Заметим, что существуют и другие способы умножения матриц, естественно, приводящие к другим результатам. Данный способ умножения матриц диктуется потребностями линейной алгебры и связан с произведением (композицией, суперпозицией) так называемых линейных преобразований. Всякое линейное преобразование определяется некоторой матрицей. Во второй части курса будет показано, что матрица произведения двух линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований в смысле введенного выше определения.

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

◄ Прежде всего заметим, что произведение и не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если и существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при матрицы и разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если и, следовательно, и одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

. ►

В то же время существуют матрицы и для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы

перестановочны, т.к.

.

Более того, существуют квадратные матрицы порядка , которые перестановочны со всеми матрицами из .

Примером такой матрицы во множестве является матрица

,

в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.

3) Умножение матриц ассоциативно, т.е.

. (1.9)

Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают.

Доказательство этого свойства содержится в учебнике [1], §13.

4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.

,

◄ Пусть . Тогда

. ►

5) Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е.

, где .

◄ Например,

.

Равенство доказывается аналогично. ►

6) Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

(1.10)

◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

. ►

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

.

Матрица называется единичной матрицей порядка .

Если , тогда матрица является её левой единицей, а матрица – правой единицей, т.е.

.

Если матрица квадратная и имеет порядок , тогда матрица является её двусторонней (левой и правой ) единицей, т.е.

.

8) Напомним, что для всех действительных чисел , т.е. ноль является делителем нуля. В то же время произведение действительных чисел может равняться нулю лишь в том случае, когда по крайней мере одно из чисел или равно нулю. Иными словами, среди действительных чисел отсутствуют истинные (т.е. отличные от 0) делители нуля. В отличие от действительных чисел среди действительных матриц истинные делители существуют, т.е. найдутся такие ненулевые матрицы порядка и порядка , что .

◄ В самом деле, матрицы

и ,

соответственно порядков и , очевидно удовлетворяют нужному условию. В частности, если , то . ►

Лекция III.

План

1.8 Теория делимости квадратных матриц

1.9^* Основные типы алгебраических структур

1.10 Элементарные преобразования над матрицами

и элементарные матрицы