![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Гармонический осциллятор.
Систему, описываемую уравнением
Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия. Для гармонического осциллятора справедливы все результаты, полученные ранее для гармонического колебания. Рассмотрим и обсудим ещё дополнительно к ним два вопроса. Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцируем выражение
В каждом положении, характеризуемом отклонением “x”, осциллятор имеет некоторое значение ”p”. Чтобы найти ”p” как функцию ”x”, нужно исключить ”t” из написанных для ”p” и ”x” уравнений, Представим эти уравнения в виде:
Возведя эти выражения в квадрат и складывая, получим:
Найдем теперь площадь эллипса
Здесь Следовательно,
Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора. 8.6. Малые колебания системы вблизи положения равновесия. Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины “x”. Величиной ”x”, определяющей положение системы может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой. Потенциальная энергия такой системы будет функцией одной переменной ”x”: Ep=Ep(x). Выберем начало отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия x=0. Тогда функция Ep(x) будет иметь минимум при x=0. Далее разложим функцию Ep(x) в ряд по степеням “x”, причем ограничимся случаем малых колебаний, поэтому высшими степенями “x” можно пренебречь. По формуле Маклорена:
(ввиду малости “x” остальными членами пренебрегаем) Так как E p(x) при x=0 имеет минимум, то Это выражение идентично с выражением для потенциальной энергии системы, в которой действует квазиупругая сила (константу “b” можно положить равной 0). Сила, действующая на систему, может быть определена по формуле: Итак, потенциальная энергия системы при малых отклонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы. Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим. 8.7. Математический маятник. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: математическим маятником будем называть идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Отклонение маятника от положения равновесия будет характеризоваться углом j (рис. 8.7). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент Следовательно,
Рассмотрим малые колебания ( Решением этого уравнения будет функция Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону. Как следует из формулы
|