Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейные дифференциальные уравнения.
|
|
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно представлено в виде
(13.10)
Отметим, что искомая функция y и ее производная y' входят в уравнение в первой степени. Функции непрерывны в рассматриваемой области. Если Q(x)=0, уравнение называется однородным, в противном случае - неоднородным.
Будем искать решение уравнения (13.10) в виде произведения двух функций, то есть 
, из которых одна (любая) может быть выбрана произвольно. Если 
, то 
. Из (13.10) получаем
или 
Пусть функция V (x) удовлетворяет условно
, (13.11)
тогда 
(13.12)
Получены уравнения с разделяющимися переменными, которые позволяют найти u(x) и v(x)
Пример. Решить уравнение 
.
Запишем уравнение в стандартной форме 
.
Если , то 
или 
.
Полагая 
, получаем 
.
Решим уравнение 
,
ограничившись его частным решением, так как v(x) может быть выбрана, как сказано выше, произвольно. Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получаем 
. Тогда 
. Из условия , с учетом найденной функции 
приходим к уравнению
или 
, 
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
или 
Геометрически оно представляет собой семейство гипербол.