Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Равносторонняя гипербола.
|
|
Среди класса нелинейных функций, параметры которой без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу. Для нее, заменив 1/х на z, получим линейное уравнение регрессии
у = а + вz
Гипербола может быть использована не только для характеристики удельных затрат с объемами производства, как уже указывалось ранее. Примером ее использования может служить также взаимосвязь доли расходов на определенные группы товаров (продовольственные, непродовольственные, товары длительного пользования) с общей суммой доходов. Подобного рода взаимосвязи получили название кривых Энгеля. В 1857 году немецкий статистик Энгель сформулировал закономерность – с ростом дохода доля затрат на продовольствие уменьшается. Соответственно, возрастает доля расходов на непродовольственные товары.
Допустим, вы исследуете соотношение между ежегодным потреблением бананов и годовым доходом, и наблюдения приведены в табл.4. 1, где собраны наблюдения для 10 семей (слайд).
Таблица 4.1
| Семья | Бананы (в фунтах) (у) | Доход (в 1000 долл.) (х) | (z) |
| 1, 93 | 1, 000 | ||
| 7, 13 | 0, 500 | ||
| 8, 78 | 0, 333 | ||
| 9, 69 | 0, 250 | ||
| 10, 09 | 0, 200 | ||
| 10, 42 | 0, 167 | ||
| 10, 62 | 0, 143 | ||
| 10, 71 | 0, 125 | ||
| 10, 79 | 0, 111 | ||
| 11, 13 | 0, 100 |
На слайде (рис.4.2). представлено облако точек, соответствующих наблюдениям, а также график уравнения регрессии между у и х 
= 5, 09 + 0, 73 х; R2 = 0, 64. (4.7.)
Стандартные ошибки (1, 23) (0, 20)
Из рисунка видно, что график уравнения регрессии не вполне соответствует точкам наблюдений, несмотря на то, что коэффициент при х существенно отличается от нуля при однопроцентном уровне значимости. Очевидно, что точки наблюдений лежат на кривой, тогда как уравнение регрессии характеризуется прямой. В данном случае нетрудно заметить, что функциональная зависимость между у и х определена неправильно.
В том случае, если вы не можете представить зависимость в графическом виде (например, если вы используете множественный регрессионный анализ), понять, что где то допущена ошибка, можно с помощью анализа остатков. В данном случае значения остатков приведены в таблице 4.2.
Таблица 4.2
| Семья | у | е | |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1, 93 | 5, 82 | - 3, 90 | |
| 7, 13 | 6, 56 | 0, 57 | |
| 8, 78 | 7, 29 | 1, 49 | |
| 9, 69 | 8, 03 | 1, 67 | |
| 10, 09 | 8, 76 | 1, 33 |
Продолжение табл. 4.2.
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10, 42 | 9, 50 | 0, 93 | |
| 10, 62 | 10, 23 | 0, 39 | |
| 10, 71 | 10, 97 | - 0, 26 | |
| 10, 79 | 11, 70 | - 0, 91 | |
| 11, 13 | 12, 43 | - 1, 31 |
Положительные или отрицательные, большие или малые остатки должны чередоваться случайным образом. Здесь же, как видно из таблицы, сначала остатки отрицательны, затем они становятся положительными, достигают максимума, а потом снова уменьшаются и становятся отрицательными: это представляется сомнительным.
В данном примере соотношение имеет вид:
у = 12 - 
(4.8.)
где х принимает целые значения от 1 до 10. Если мы знаем это и определим z = 1/ х, то уравнение примет линейный вид (4.7.). Значение z для каждой семьи уже подсчитано в таблице 4.1. Оценив регрессию между y и z, получим
= 12, 08 - 10, 08 z; R2 = 0, 9989
Стандартные ошибки (0, 04) (0, 12) (4.9.) Подставив z = 1 / x, имеем
(4.10.)
С учетом высокого качества оцененного уравнения (4.9.) неудивительно, что соотношение (4.10) близко к истинному уравнению (4.8) На слайде (рис. 4.3 и рис. 4.4) показаны регрессионная зависимость и точки наблюдений для у, х и z.
 |
Улучшение качества уравнения, измеряемого с помощью коэффициента R2, отражено в более полном соответствии графиков. Сравните графики на рис.4.2. и 4.4.