![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегрирование сильно осциллирующих функций.
1. Постановка задачи. Большую часть реально встречающихся подынтегральных функций составляют функции с особенностями, причем особенность может содержаться либо в функции, либо в ее производной, или функции, производные которых очень велики. Такие функции плохо аппроксимируются многочленами и поэтому для вычисления соответствующих интегралов оказываются неэффективными стандартные квадратурные формулы. Пример. Вычислить интеграл по формуле прямоугольников. Решение. Функция формулу прямоугольников с постоянным шагом
где Результаты вычислений для нескольких значений шага h приведем в следующей таблице.
Из таблицы видно, что значения Укажем на некоторые подходы к вычислению интегралов с особенностями, которые учитывают особенности поведения подынтегральной функции и поэтому значительно сократить затраты машинного времени или достичь большей точности. 2. Разбиение промежутка на части. Пусть подынтегральная функция F является кусочно-гладкой и
в виде суммы
Вычисление каждого из интегралов суммы (2) представляет собой стандартную задачу, т.к. на каждом из частичных отрезков
3. Выделение веса. В некоторых случаях функция F(x) допускает разложение на два сомножителя: F(x)=p(x)*f(x), где p(x) — является достаточно простой и имеет те же особенности что и F(x), а f(x) — гладкая функция. Тогда
Здесь функция p(x) называется весовой функцией (или весом). При построении численных методов вычисления интеграла (3), весовая функция считается фиксированной. В то же время f(x) может быть произвольной достаточно гладкой. Примерами весовых функций могут служить постоянный вес p(x)=1, весовые функции Якоби
Методы приближенного вычисления интегралов, рассмотренные нами ранее, применимы и к задаче вычисления интеграла с весом. Пусть
приводит к квадратурной формуле интерполяционного типа. Пример. Выведем аналог формулы прямоугольников с постоянным шагом для вычисления интеграла
Решение. Заменяя функцию f(x) на элементарном отрезке
получим следующую квадратурную формулу
Пример. Вычислить Решение. Для вычисления данного интеграла применим формулу (6), которая в рассматриваемом случае примет вид
Полученные результаты приведены в таблице:
Для вычисления интегралов (3) применяют и квадратурные формулы Гаусса
точные для многочленов наиболее высокой степени. Они строятся аналогично тому, как это было сделано в случае постоянного веса p(x)=1.
4. Формула Эрмита. Для вычисления интегралов вида
т.е. в случае
называемую формулой Эрмита. Узлами этой формулы являются нули многочлена Чебышева Tn(x), т.е. числа
5. Метод Канторовича выделения особенностей. Идея метода состоит в том, что из подынтегральной функции F(x) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что и F(x), элементарно интегрируемую на [a, b] и такую, чтобы разность f(x)-g(x) имела нужное число производных. Запишем интеграл в виде
Здесь первый интеграл берется непосредственно, а второй вычисляется по квадратурным формулам. Подбор функции g(x) производится в зависимости от конкретного случая. Выведем правило построения такой функции для одного часто встречающегося класса интегралов. Пусть F(x) имеет вид
где Функцию f(x) представим по формулам Тейлора в виде:
Тогда
Первое слагаемое в формуле (10) есть степенная функция, которая интегрируется непосредственно. Второе слагаемое в формуле (10) обращается в нуль при x = 0 вместе со своими производными до порядка k включительно. Произведение этого выражения на множитель
6. Аддитивное выделение особенности.
Иногда подынтегральную функцию удается представить в виде суммы
где функция Здесь Пример. Вычислить интеграл
Решение. Представим интеграл в виде Интеграл
Найденные по ней приближенные значения интеграла приведем в таблице:
7. Интегрирование сильно осциллирующих функций. В задачах радиотехники часто встречается проблема вычисления интегралов вида
Здесь Функции Для уменьшения объема вычислений в равенстве (11) полезно рассматривать функцию Построим, например, аналог формулы средних прямоугольников. Для этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заменим f(x) ее значением в середине интервала:
проинтегрируем по интервалу
и ее погрешность Теперь построим аналог формулы трапеций. Для этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заменим f(x) интерполяционным многочленом первой степени
проинтегрируем по интервалу где
|