Определители произвольного порядка

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие определенное число, называемое ее определителем и обозначаемое символом или в развернутом виде:

.

Числа называют элементами определителя.

Минором элемента называется определитель, полученный из исходного, путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент . Минор элемента обозначается .

Определителем порядка называют сумму произведений элементов первой строки на их соответствующие миноры

(4.1).

Величину называют алгебраическим дополнением элемента . Справедливо равенство

(4.2).

Равенство (4.2) называют разложением определителя по -ому столбцу или по -ой строке.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.

Справедливо утверждение: всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу .

Обратную матрицу находят по формуле: , где - алгебраические дополнения элементов матрицы , причем алгебраические дополнения элементов строки матрицы записываются в соответствующий столбец матрицы .

Пример 8. Найти обратную матрицу матрицы и сделать проверку.

Решение. Вычислим определитель матрицы :

.

Найдем алгебраические дополнения:

Запишем обратную матрицу:

.

Сделаем проверку. Найдем .