Модуль 1. Дискретна математика

Вища математика

Семестр (прискореними)

Модуль 1. Дискретна математика

Елементи теорії множин і відношень та комбінаторики.

Зміст та задачі дискретної математики. Поняття множини. Способи завдання множини. Відношення між множинами. Геометричне зображення множин. Основні операції над множинами: об’єднання, переріз, різниця, доповнення. Властивості операцій над множинами. Декартовий добуток множин.

Поняття відношення. Способи задання відношень. Образи і прообрази елементів і множин відносно відношень. Операції над відношеннями. Бінарні відношення. Властивості бінарних відношень. Спеціальні бінарні відношення: відношення еквівалентності та відношення порядку. Поняття функції та відображення. Класифікація функцій.

Поняття комбінаторної задачі. Загальні правила комбінаторики: правила суми та добутку. Принцип включень та виключень. Комбінаторні конфігурації без повторень: перестановки, розміщення, комбінації. Властивості числа комбінацій. Комбінаторні конфігурації з повтореннями: перестановки, розміщення, комбінації.

Елементи теорії булевих функцій.

Поняття булевої функції. Способи завдання булевих функцій. Елементарні булеві функції. Реалізація булевих функцій формулами. Рівносильність та тотожність формул. Принцип двоїстості.

Диз’юнктивна і кон’юнктивна нормальні форми. Досконалі диз’юнктивна і кон’юнктивна нормальні форми. Приведення булевих функцій до досконалих диз’юнктивних і кон’юнктивних нормальних форм. Повні системи булевих функцій. Зображення булевої функції многочленом Жегалкіна. Замикання і замкнені класи булевих функцій. Критерій повноти системи булевих функцій.

Мінімізація булевих функції в класі диз’юнктивних нормальних форм. Реалізація булевих функції схемами з функціональних елементів.

Елементи теорії графів.

Основні характеристики графів. Зображення графів. Матричні способи задання графа. Ізоморфізм графів. Маршрути в графі. Обходи в графах.

Зв’язність графа. Мінімальні шляхи в зважених орграфах. Дерева. Мінімальні остовні дерева зважених графів.

Модуль 2. Теорія ймовірностей.

Випадкові події.

Предмет теорії ймовірностей. Історичний огляд розвитку. Простір елементарних подій. Випадкові події та відношення між ними. Операції над подіями. Класичне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності. Геометричні ймовірності. Комбінаторні методи обчислення ймовірностей.

Аксіоми теорії ймовірностей. Наслідки з аксіом. Теорема додавання ймовірностей. Зв’язок різних подій. Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей. Формула повної ймовірності та формула Байєса.

Схема повторних незалежних випробувань (схема Бернуллі). Найімовірніше число появи випадкової події. Кількість випробувань, необхідних для появи хоча б один раз події із заданою ймовірністю.

Граничні теореми для схеми Бернуллі: локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа; гранична теорема Пуассона.

Випадкові величини, системи та функції випадкових величин, випадкові процеси.

Поняття випадкової величини. Дискретні випадкові величини. Приклади розподілів дискретних випадкових величин. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу неперервної випадкової величини та її властивості.. Приклади розподілів неперервних випадкових величин. Функція розподілу випадкової величини.

Числові характеристики випадкових величин: математичне сподівання, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та їх властивості. Моменти розподілу випадкової величини.

Поняття про систему випадкових величин. Функція розподілу системи двох випадкових величин та її властивості. Система двох дискретних випадкових величин. Матриця розподілу. Система двох неперервних випадкових величин. Сумісна щільність розподілу та її властивості. Основні числові характеристики системи двох випадкових величин. Коваріація. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Функції дискретного та неперервного випадкового аргументу. Закони розподілу функцій дискретного та неперервного випадкового аргументу. Числові характеристики функцій дискретного та неперервного випадкового аргументу. Композиція законів розподілу.

Закон великих чисел. Нерівність Чебишова. Теореми Чебишова та Бернуллі. Центральна гранична теорема.

Загальні відомості про випадкові процеси. Ланцюги Маркова. Пуассонівський випадковий процес. Гармонічний процес.

Модуль 3. Основи математичної статистики

Предмет і задачі математичної статистики. Генеральна сукупність та вибірка. Розподіл вибірки. Найпростіші статистичні перетворення вибірки. Графічне зображення статистичних даних.

Числові характеристики генеральної сукупності. Характеристики положення елементів вибірки. Характеристики розсіювання вибірки. Характеристики форми вибірки.

Точкові статистичні оцінки параметрів розподілу генеральної сукупності. Методи визначення точкових статистичних оцінок: метод умовних варіант; метод найменших квадратів; метод моментів; метод максимальної правдоподібності.

Інтервальні статистичні оцінки параметрів розподілу. Поняття довірчого інтервалу. Довірчий інтервал для математичного сподівання довільного розподілу. Довірчий інтервал для математичного сподівання нормального розподілу при і при невідомій відомій дисперсії. Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення нормального розподілу. Оцінка істинного значення вимірюваної величини.

Види зв’язку між випадковими величинами. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Згладжування експериментальних даних методом найменших квадратів. Лінійна регресія

Поняття статистичної гіпотези, критерію та критичної області. Основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпотез. Перевірка гіпотез про математичне сподівання. Перевірка значущості розбіжності між емпіричним і теоретичним розподілом.