Алгебра матриц

Система чисел (действительных или комплексных), расположенных в прямоугольной таблице из n строк и m столбцов,

,

называется матрицей (числовой). Числа - элементы матрицы. Пользуются также сокращенными записями и , причем говорят, что матрица имеет размер

Если , то матрицу называют прямоугольной, а в случае - квадратной. Матрица размера называется вектором-строкой, а размера - вектором-столбцом. Число (скаляр) можно считать матрицей размера . Квадратная матрица, имеющая ненулевые элементы только на главной диагонали, называется диагональной. Если в диагональной матрице ненулевые элементы равны 1, то матрицу называют единичной и обозначают через .

С квадратной матрицей связан определитель (число), определяемое по правилу где сумма распространена на всевозможные перестановки элементов и, следовательно, содержит слагаемых, причем , если перестановка четная, и , если перестановка нечетная.

Ранг данной матрицы размера есть такое число , что по крайней мере один определитель -го порядка, получаемый при удалении некоторых строк и (или) столбцов, отличен от нуля, а все определители -го порядка равны нулю. Для невырожденной матрицы .

След (spur) квадратной матрицы равенсумме элементов на главной диагонали:

Для матриц произвольного типа и размера используют три нормы:

(m - норма);

(l - норма);

(k - норма).

Матрицы равны, если они имеют один и тот же размер и равны их соответствующие элементы. Сумма и разность матриц определена для матриц одинакового типа. Правило умножения матриц: элемент матрицы-произведения представляет собой сумму произведений элементов i- й строки первой матрицы на элементы j - го столбца второй матрицы. Следовательно, если размер первой матрицы а второй - перемножение возможно при а матрица-произведение имеет размер

Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц-сомножителей.

Транспонированная матрица получается из исходной заменой строк столбцами.

Матрица называется симметрической (симметричной), если она совпадает со своей транспонированной, т.е. если . В случае матрицу называют кососимметрической.

Обратной по отношению к данной называется матрица , которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу . Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

При вычислении матрицы, обратной матрице , точность оценивается с помощью модифицированной k -нормы матрицы ошибок , равной ,

Квадратная матрица называется неособенной, если определитель ее не равен нулю. В противном случае матрица называется особенной. Обратную матрицу имеет всякая неособенная матрица.

Присоединенную (или союзную) матрицу получают транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы. Разделив присоединенную матрицу на определитель исходной матрицы, получают матрицу, обратную для исходной.

С помощью горизонтальных и вертикальных перегородок, идущих вдоль всей матрицы, последнюю разбивают на матрицы низших порядков (клетки или блоки). Матрицу, разбитую на клетки, называют клеточной или блочной.

Разбиение матрицы на клетки может быть осуществлено различными способами. Если все клетки являются квадратными матрицами и главные диагонали всех клеток находятся на главной диагонали исходной матрицы, а вне клеток стоят нули, то такую клеточную матрицу называют квазидиагональной.

Окаймленные матрицы представляют собой другой важный частный случай клеточных матриц. Из исходной матрицы окаймленную матрицу матрицу получают следующим образом: , где

- матрица порядка n-1; - матрица-столбец; - матрица-строка и - число.

Клеточные матрицы одинакового типа и с одинаковым разбиением называют конформными. Удобство клеточных матриц состоит в том, что действия над ними совершаются формально по тем же правилам, что и над обыкновенными матрицами.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через .

Матрицы общего вида называют плотными или заполненными.

Практические задачи, например анализ протяженной электрической цепи с локальными связями между элементами, приводят к разреженным матрицам, в которых нулевых элементов значительно больше, чем ненулевых. Пример разреженной матрицы – трехдиагональная матрица, все ненулевые элементы которой расположены на главной и двух соседних с ней диагоналях.

Матрица называется ленточной с полушириной ленты, равной , если для . Все ненулевые элементы расположены на ближайших к главной диагоналях матрицы; число называют шириной ленты. В случае ленточная матрица является разреженной.

Если в квадратной матрице элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю, то такую матрицу называют нижней (верхней) треугольной матрицей. Диагональная матрица является частным случаем как верхней, так и нижней треугольной матрицы. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Всякую квадратную матрицу , имеющую отличные от нуля главные диагональные миноры ….; можно представить в виде произведения двух треугольных матриц (верхней и нижней), причем это разложение будет единственным, если зафиксировать диагональные элементы одной из матриц (например, принять их равными 1).

Если главные диагональные миноры симметрической матрицы положительны, то она называется положительно определенной.

Действительная матрица является ортогональной, если ее транспонированная матрица совпадает с обратной , т.е. , или . Ортогональная матрица имеет следующие свойства.

1. Строки (столбцы) попарно ортогональны, т.е.

при и при .

2. Сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) равна 1.

3. Определитель равен 1.

4. Транспонированная и обратная матрицы ортогональной матрицы также являются ортогональными матрицами.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью элементарных преобразований: перестановка двух строк или столбцов; умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на одно и то же число; прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Указание для изменения порядка следования строк (столбцов) матрицы задают в виде вектора транспозиции. Например, если для строк матрицы размера 5*6 задан вектор транспозиции , то матрица не будет изменена, а в случае поменяются местами строки: первая – с пятой, третья – со второй.