Методы прогноза и коррекции

Для численного решения ОДУ используют также многошаговые методы, в которых вычисление ведется не только по но и по значениям в нескольких предыдущих узлах. Формулы - шагового метода имеют вид

где a_-q, b_-q - постоянные коэффициенты. Если , соответствующий метод называется экстраполяционным или явным, если - интерполяционным или неявным методом.

Частным случаем многошаговых методов является метод Адамса:

Обычно вычисления ведут по паре формул, одна из которых явная, а другая - неявная. Такие пары формул называются методами прогноза и коррекции. Прогноз, выполняемый один раз на шаге, служит цели получения хорошего начального приближения для последующей коррекции. Последняя может выполняться на каждом шаге заданное число раз (часто только один раз) или повторяться до сходимости. Применение многошаговых методов возможно лишь в том случае, если известны решения в первых узлах. Для нахождения этих значений обычно пользуются одношаговыми методами, что увеличивает объём программы. Поэтому в настоящее время многошаговые методы употребляются значительно реже, чем четырехточечный метод Рунге-Кутта РК4.

Рассмотрим простейший вариант метода прогноза и коррекции.

Формулы метода:

(14)

По первой формуле выполняется прогноз, по второй - -я коррекция. На рис.8.4 представлена иллюстрация этого метода при =1, т.е. для первой коррекции.

Коррекцию можно выполнять сколько угодно раз; для получения решения итерационный процесс должен быть сходящимся. Условие сходимости: . Вычисления прекращаются, когда где - заданная ошибка.

Рис.8.4 – иллюстрация метода прогноза и коррекции

Ошибки ограничения прогноза и коррекции

Представим решение в виде разложения в ряд:

.

При :

.

При :

.

Из разности получим

.

Отсюда ошибка ограничения прогноза: .

Подобным же образом можно получить ошибку ограничения коррекции:

.

Получение оценки ошибки ограничения в процессе получения решения

Пусть - точное значение решения при . Тогда

Вычтя из одного выражения другое и учитывая, что в промежутке третью производную можно считать практически постоянной, получим , откуда .

Решение на шаге получается в результате -той коррекции, и здесь же как побочный продукт вычислений можно получить оценку ошибки ограничения коррекции по выражению , которая позволяет уточнить решение: .

В заключение приведем формулы для ряда методов прогноза и коррекции (здесь - функция, - аргумент).

Первый вариант метода Адамса

(15)

Второй вариант метода Адамса

(16)