В треугольнике , , .

Решение. Вычертим эту область

Найдём значение функции на граничных точках: z(4, -4)=16, z(4, 4)=0, z(-4, 4)=16

Найдём возможный экстремум функции внутри этой области:

, , приравняв эти производные нулю, получим х=2, у=2, z(2, 2)=4.

Положим х=4, тогда наша функция есть . Следовательно, , экстремума быть не может.

Положим у=4, тогда наша функция есть , испытаем это на экстремум: , экстремума быть не может.

Положим y=-х, тогда наша функция есть , испытаем это на экстремум: , приравняв нулю, получим точку (0, 0), z(0, 0)=0.

Таким образом, видим, что ,

Задание 7. Найти интегралы а), б), в), г), д).

а) 4. .

Положим такую замену: , тогда можно перейти к такому интегралу

Переходим к старой переменной, получаем

б)

4. . ― возьмём этот интеграл по частям

Обозначим

Тогда, в соответствии с формулой, получим

Второй интеграл опять берём по частям

Получаем:

В)

4. .

Сравнивая с видом исходной дроби, видим

, откуда, конечно

Тогда имеем

г) 4. ― введём такую замену , получаем интеграл

, возвращаясь к старой переменной, получим

д)

4. .

Задание 8. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

4.