Решение. Вычертим такую фигуру

Решение. Площадь фигуры можно представить в виде

, где

Определим пределы интегрирования: , откуда

, следовательно,

Таким образом,

Задание 9. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

4.

Решение. Построим данную кривую

В данном случае длина дуги выражается интегралом

Контрольная работа №2.

Задание 1. Установить характер сходимости ряда с общим членом u_n.

4.

Решение. Так как это знакопеременный ряд, то применим признак Лейбница: . Так как члены ряда монотонно убывают по величине и стремятся к нулю, данный ряд сходится.

Проверим его на условную сходимость. Используем радикальный признак Коши

Так как , то данный ряд, бесспорно, сходится.

Следовательно, ряд ― сходящийся.

Задание 2. Найти область сходимости степенного ряда с общим членом u_n.

4.

Решение. Найдём радиус сходимости ряда по формуле

Далее найдём область абсолютной сходимости ряда:

, , следовательно, область сходимости степенного ряда есть

Исследуем ряд на концах интервалов сходимости. Пусть , тогда наш ряд . Это знакопеременный ряд. Применим признак Лейбница: . Так как члены ряда не стремятся к нулю, то ряд является расходящимся, следовательно, точка не входит в область абсолютной сходимости.

Далее, пусть , тогда имеем ряд ― это расходящийся ряд, как это уже было показано. Следовательно, точка не входит в область абсолютной сходимости ряда.

Ответ: в области ряд сходится абсолютно.

Задание 3. Найти решение задачи Коши.

4.

Обозначим , тогда

И теперь получаем

И тогда , проинтегрируем

или , теперь можно найти частное решение, используя условие y'(0)=1. Имеем x=0, cosx=1, тогда

, откуда, конечно, С₁=0, и частное решение, интересующее нас, есть u=cos²y.

Возвращаемся к старой переменной:

или , откуда tgy=x+C₂ или в явном виде

Найдём теперь частное решение, подставим y(0)=0, получим

, откуда конечно, С₂=0, тогда имеем окончательный ответ y=arctgx

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

4.

Решение. Сначала необходимо найти общее решение неоднородного уравнения

Запишем характеристическое уравнение m²+m+1=0. У него комплексные корни , поэтому общее решение надо искать в виде

Теперь необходимо найти частное решение этого уравнения в виде

, судя по виду правой части

Найдем соответствующие производные:

Конструируем исходное уравнение:

Теперь, сравнивая с видом исходной правой части, убеждаемся

или

Отсюда

Таким образом, искомое общее решение неоднородного уравнения

Задание 5. Операционным методом решить задачу Коши.

, поскольку не заданы начальные условия, то решения нет.

Задание 6. Функцию разложить в указанном интервале в ряд Фурье и в ряд Фурье по синусам:

4.

Решение. Вычислим Фурье-коэффициенты при синусах.

Таким образом, наше Фурье-представление:

Задание 7. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:

Решение. Вычертим область интегрирования, чтобы было легче ориентироваться

Обе кривые пересекаются в точках (-1, 1) и (1, 1). Искомая фигура находится книзу от точки пересечения этих кривых.

Таким образом,

Задание 8. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Решение. Проекция такой фигуры на плоскость XOY выглядит как

Объём можно вычислить соответствующим тройным интегралом

Задание 9. Вычислить криволинейные интегралы по координатам

, где l -окружность при положительном направлении обхода.

Вычислим

Тогда получаем

Задание10. Вычислить криволинейные интегралы по длине дуги.

, где l –отрезок АВ; А(-1; 0), В(0; 1).

Решение. Ищем дифференциал длины дуги

Уравнение отрезка АВ есть у=х+1, тогда dx=dy, и

Задание 11. Даны векторное поле и плоскость , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду. Найти:

1) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали непосредственно и по теореме Остроградского-Гаусса;

2) циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура, ограничивающего часть плоскости (р), вырезаемую координатными плоскостями, применив теорему Стокса.

.

Решение. Приводим уравнение плоскости к виду , где – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Поделим обе части уравнения на 2, получим .

Построим эту плоскость. По оси она отсекает 1; по оси она отсекает отрезок -2; по оси она отсекает 1.

Циркуляцию векторного поля находят по формуле:

.

Учитывая, что , , получаем

, где – контур треугольником состоит из трех отрезков: , и , поэтому интеграл разбиваем на три интеграла:

1) по отрезку ; 2) по отрезку ; 3) по отрезку .

1). Уравнение прямой ( – линия пересечения плоскости с координатной плоскостью ), имеет вид:

2). Уравнение прямой имеет вид:

3). Уравнение прямой имеет вид:

Вычисляем циркуляцию:

Вычисляем циркуляцию по формуле Стокса:

;

В формуле здесь , , – координаты векторного поля , – плоский треугольник . Имеем , , тогда ; ; ; ; ; . В формуле Стокса , , – координаты единичного вектора нормали к поверхности. В данном случае и берем со знаком «–», т.к. нормаль образует тупой угол с осью и с осью .

Отсюда получаем по формуле Стокса

Вычислим поток векторного поля по внешней стороне треугольника . Из уравнения плоскости находим:

; ; .

Запишем уравнение плоскости в виде: ; координаты нормального вектора плоскости , , тогда единичный вектор нормали равен .

Поток находим по формуле:

, где .

В нашем примере , найдем скалярное произведение и . Имеем:

итак, .

Здесь треугольник это проекция треугольника на плоскость . Вместо подставим .

Тогда

.

Таким образом,

Найдем поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении ее внешней нормали по формуле Остроградского: , где .

Так как , , , . Поэтому

,