![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод трапецийСтр 1 из 2Следующая ⇒
Метод прямоугольников
Самыми простыми методами численного интегрирования являются метод прямоугольников. При этом непосредственно используется замена определенного интеграла интегральной суммой (4.2.1):
где В качестве точек zi могут выбираться левые (zi=xi-1) или правые (zi=xi) границы элементарных отрезков. Обозначая yi = f(xi) получим формулы: 1) Метод «левых» прямоугольников: 2) Метод «правых» прямоугольников: 3) Более точным является метод «средних» прямоугольников (метод средних), использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (4.2.2):
где i=1, 2,..n. Для частного случая hi = h = const формулы примут вид (4.2.3):
На рисунке 1 показана графическая интерпретация метода средних прямоугольников. Рисунок 1
Метод трапеций В данном методе f(x) заменяется на линейный интерполяционный многочлен, т.е. на элементарном отрезке [xi-1, xi] подынтегральная функция представляет собой отрезок прямой линии. Значение I в пределах [xi-1, xi], равное площади криволинейной фигуры, заменяется площадью прямоугольной трапеции с высотой hi и основаниями f(xi-1), f(xi) (4.3.1):
После сложения этих соотношений получим формулу трапеций (4.3.2):
Если шаг интегрирования постоянный (
Графическая интерпретация метода трапеций приведена на рисунке 2.
Рисунок 2 В общем случае погрешность Rn численного значения интеграла, рассчитанного методами численного интегрирования (Sn) определяется выражением (4.3.4):
Она зависит от шага разбиения, и ее можно представить в виде На основании формул прямоугольников и трапеций можно получить уточненные значения интегралов, если учесть характер погрешностей этих формул. Главный член погрешности формулы средних прямоугольников на каждом отрезке [xi-1, xi] равен
Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то, уменьшая его, можно добиться большей точности. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона).
|