Метод трапеций

Метод прямоугольников

Самыми простыми методами численного интегрирования являются метод прямоугольников. При этом непосредственно используется замена определенного интеграла интегральной суммой (4.2.1):

(4.2.1)

где ,

В качестве точек z_i могут выбираться левые (z_i=x_i-1) или правые (z_i=x_i) границы элементарных отрезков. Обозначая y_i = f(x_i) получим формулы:

1) Метод «левых» прямоугольников: ;

2) Метод «правых» прямоугольников: .

3) Более точным является метод «средних» прямоугольников (метод средних), использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (4.2.2):

, (4.2.2)

где

i=1, 2,..n.

Для частного случая hi = h = const формулы примут вид (4.2.3):

(4.2.4)

На рисунке 1 показана графическая интерпретация метода средних прямоугольников.

Рисунок 1

Метод трапеций

В данном методе f(x) заменяется на линейный интерполяционный многочлен, т.е. на элементарном отрезке [x_i-1, x_i] подынтегральная функция представляет собой отрезок прямой линии. Значение I в пределах [x_i-1, x_i], равное площади криволинейной фигуры, заменяется площадью прямоугольной трапеции с высотой h_i и основаниями f(x_i-1), f(x_i) (4.3.1):

(4.3.1)

После сложения этих соотношений получим формулу трапеций (4.3.2):

(4.3.2)

Если шаг интегрирования постоянный (), то формула трапеций предстанет в следующем виде(4.3.3):

(4.3.3)

Графическая интерпретация метода трапеций приведена на рисунке 2.

Рисунок 2

В общем случае погрешность R_n численного значения интеграла, рассчитанного методами численного интегрирования (S_n) определяется выражением (4.3.4):

(4.3.4)

Она зависит от шага разбиения, и ее можно представить в виде . В случае переменного шага можно принять . Из этого представления погрешности численного интегрирования следует, что при значения интеграла, получаемые путем численного интегрирования, сходятся к его точному значению. Заметим, что это имеет место, если подынтегральная функция на конечном отрезке [a, b] интегрируема.

На основании формул прямоугольников и трапеций можно получить уточненные значения интегралов, если учесть характер погрешностей этих формул. Главный член погрешности формулы средних прямоугольников на каждом отрезке [x_i-1, x_i] равен ; для формулы трапеций он равен , т. е. примерно вдвое больше и имеет другой знак. На основании этого можно записать уточненную формулу для вычисления определенного интеграла с использованием значений I₁ и I₂, вычисленных по методам прямоугольников и трапеций (4.3.5):

(4.3.5)

Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то, уменьшая его, можно добиться большей точности.

Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона).