Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени (4.4.1):

(4.4.1)

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках x_i соответствующим табличным данным y_i. В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки M_i-1(x_i-1, y_i-1), M_i(x_i, y_i), M_i+1(x_i+1, y_i+1) (4.4.2):

(4.4.2)

Элементарная площадь s_i может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства x_i+1 - x_i = x_i - x_i-1 = h, получаем

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [x_i-1, x_i+1], просуммируем полученные выражения (4.4.3):

(4.4.3)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона.

Сравнив методы прямоугольников и трапеций с методом Симпсона, отметим, что последний обладает более высокой точностью. Главный член погрешности метода Симпсона имеет вид(4.4.4):

(4.4.4)