Метод наименьших квадратов.

АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ многочленом НА ОСНОВЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К лабороторной работе ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Численные методы»

Составитель И.А.Селиванова, ст.преподаватель.

АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ многочленом НА ОСНОВЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Численные методы»

Указания предназначены для студентов всех форм обучения направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника».

У ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого
Президента России Б.Н.Ельцина», 2011

СОДЕРЖАНИЕ

1.АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ многочленом НА ОСНОВЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. 4

1.1. Метод наименьших квадратов. 4

1.2. Построение ортогонального многочлена. 5

1.3. Задание на практику. 9

1.4. Варианты заданий. 10

Список литературы.. 15

1 .АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ многочленом НА ОСНОВЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Метод наименьших квадратов.

Предположим, что между независимой переменной x и зависимой переменной y имеется некоторая функциональная связь . Эта связь отображается в таблице приближенных значений .

Таблица 1.Приближенные значения

x			…
y			…

Требуется дать приближенное аналитическое описание этой связи, т.е. подобрать функцию такую, которая аппроксимировала бы на отрезке [ , ] функцию f(x), заданную отдельными приближенными значениями . Для решения этой задачи находят функцию такую, чтобы она «в среднем» хорошо отражала зависимость между x и y. Ее параметры выбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисляемых значений от заданных значений была минимальной. Число данных приближений должно быть не меньше, чем число параметров в подбираемой зависимости , т.е. .

Пусть функция зависит от m параметров:

(1)

Найдем значения параметров (где ), решая экстремальную задачу

(2)

Оптимальное значение набора параметров определяется решением системы уравнений:

(3)

Если то система уравнений (3) преобразуется в линейную систему уравнений:

……………………………………………………………………

(4)

которая после несложных преобразований примет вид:

……………………………………………………………………………

(5)