Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Построение ортогонального многочлена.


⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2




Пусть - алгебраические многочлены степеней 0, 1, …, n соответственно. Будем говорить, что полиномы взаимно ортогональны на множестве точек , если

(6)

 

Пусть

, , (7)

 

где константа должна быть определена из условия ортогональности и на множестве точек . Следовательно, должно выполняться соотношение

(8)

 

Откуда

(9)

Пусть теперь

(10)

 

где константы и определяются из условий ортогональности полиномам и , т.е. из условий

(11)

 

(12)

 

Учитывая, что в силу ортогональности многочленов, из соотношения (4.14) получаем

(13)

 

(14)

так что

(15)

Построение последующих полиномов проводится аналогичным образом. Считая, что полиномы уже найдены, положим

(16)

где константы и подлежат определению из условия ортогональности.

(17)

(18)

 

Сформулируем алгоритм построения ортогональных многочленов:

1. Положить , .

Для j=1, …, n-1 положить , где задается формулой (17), а - (18).

2. Вычислить коэффициенты полинома метода наименьших квадратов по формуле

(19)

Преимуществом этого подхода является возможность строить полином метода наименьших квадратов степень за степенью. Например, если мы заранее не знаем, полином какой степени нас удовлетворит, мы можем начать с полинома первой степени, затем построить полином второй степени и т.д., пока не получим полином, который будем считать подходящим. В приведенном алгоритме построения ортогональных полиномов коэффициенты не зависят от n; как только вычислен полином , можно найти коэффициенты и, следовательно, получить полином наименьших квадратов степени j.

 


1 .3. Задание на практику.

Исходные данные – совокупность 10 пар точек.

· Используя метод наименьших квадратов, построить многочлен 2-ого порядка, аппроксимирующий таблично заданную функцию

· Построить в одной системе координат полученную и данную функцию в точках , где

· Повторить предыдущие пункты, используя ортогональные на множестве точек многочлены (степень многочлена m=2).

Варианты заданий.

 

Вариант 1.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi   1.5     2.5     0.5 1.5  

Вариант 2.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi -1.5 -1   0.5 0.5     1.5   0.5

Вариант 3.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 0.5     0.5 0.5   1.5   2.5 3.5

Вариант 4.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 3.5   2.5     1.5   0.5 0.5  

Вариант 5.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 3.5     2.5 2.5     1.5    

Вариант 6.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi   3.5 4.5         9.5 10.5  

Вариант 7.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi -1   0.5 1.5 2.5   4.5     8.5

Вариант 8.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi -3 -3.5 -3.5 -4 -3.5 -3 -3 -2.5 -2 -1.5

Вариант 9.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 1.5       -0.5 -1.5 -2.5 -3.5 -5 -6

Вариант 10.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi   1.5     2.5 2.5   2.5    

Вариант 11.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 0.5 1.5     3.5     7.5    

Вариант 12.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi   2.5 2.5   1.5   2.5 2.5    

Вариант13.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi -0.5     0.5   0.5 0.5   -0.5 -0.5

Вариант 14.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi     0.5 -0.5 -2 -2.5 -3.5 -5 -6 -7.5

Вариант 15.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi -3.5 -4 -4.5 -5 -5.5 -5.5 -4.5 -4.5 -4 -4

Вариант 16.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi -3 -3 -3.5 -3 -3 -2.5 -2.5 -2 -1.5 -0.5

Вариант 17.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 3.5   4.5 4.5     3.5     1.5

Вариант 18.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 2.5   1.5 1.5   1.5     2.5  

Вариант 19.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 4.5   5.5     6.5     5.5  

Вариант 20.

i                    
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi   3.5     4.5     4.5 4.5  

Вариант 21.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi     8.5     6.5   5.5   4.5

Вариант 22.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi 10.5 9.5 8.5     6.5   5.5    

Вариант 23.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi   4.5 3.5     2.5 2.5   2.5  

Вариант 24.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi -4 -4.5 -4.5 -4 -3.5 -3.5 -3 -2.5 -2.5 -2

Вариант 25.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi 5.5         0.5 -0.5 -1.5 -2 -2.5

Вариант 26.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi -3 -2 -0.5   0.5   1.5 1.5    

Вариант 27.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi -8.5 -7 -6 -4.5 -4 -3 -2.5 -1.5 -0.5  

Вариант 28.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi 2.5   1.5 0.5 0.5   -0.5 -0.5   0.5

Вариант 29.

I                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi       7.5 6.5     4.5   3.5

Вариант 30.

i                    
xi -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
yi   7.5     6.5   5.5 4.5   3.5

 

 


Список литературы

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов/В.М. Вержбицкий.-2-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2002. – 840с.

2. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие/В.И. Киреев, А.В. Пантелеев.-2-е изд. стер.-М.: Высш. шк., 2006.-480с.: ил.

3. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. – 3-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2004. – 256 с.

4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие.-2-е изд., перераб. И доп.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-304с.

5. Численные методы: Учеб. Пособие для студ. Вузов / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2005. – 384 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002 г. – 632с.: ил.

7. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие. /Под ред. В.А. Садовничего – М.: Высшая школа. 2000. – 190с.

8. Копченова Н.В., Марон И.А. Высшая математика в примерах и задачах - М.: Главная редакция физ-мат литературы издательства «Наука», 1972 г. - 384с.

9. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», 1978 г. - 256с.

 


⇐ Предыдущая12
Поделиться с друзьями:
mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2025 год. (0.02 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал