Решение.Построим в декартовой системе координат треугольник АВС с заданными координатами вершин.

1) Для нахождения уравнения сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

Имеем:

(АВ): или – каноническое уравнение прямой АВ.

(АС): или – каноническое уравнение прямой АС.

(ВС): или – каноническое уравнение прямой ВС.

Пусть АН – высота, опущенная из вершины А на сторону ВС. Найдем ее уравнение в каноническом виде: . Так как высота опущена из точки А, то . Для нахождения координат направляющего вектора воспользуемся уравнением стороны ВС. Приведем его к общему виду: , откуда . Так как , то нормаль к прямой ВС может рассматриваться как направляющий вектор прямой АН, т.е. . Имеем

– каноническое уравнение высоты АН.

Пусть АМ – медиана, проведенная из вершины С на сторону АВ. По определению медианы точка М делит отрезок АВ пополам. Координаты середины отрезка находим по формулам: .

Для нахождения уравнения медианы СМ, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки Так как , то (СМ): или – каноническое уравнение медианы СМ.

2) Для установления координат вектора нормали прямой АВ, перейдем от канонического вида к общему уравнению прямой. Имеем или – общее уравнение прямой АВ. Тогда вектор нормали будет иметь координаты .

Для нахождения углового коэффициента прямой АВ выразим из общего уравнения прямой . Имеем Тогда угловой коэффициент прямой АВ будет равен

Расстояние от вершины С до стороны АВ находим по формуле

. Так как – общее уравнение стороны АВ, то нормаль к стороне АВ имеет координаты , А =6, В =2, С =-20.

Тогда .

3) Угол между сторонами АВ и АС равен углу между векторами и .

Для точек имеем:

, .

, тогда искомый угол между сторонами АВ и АС будет равен .

4) Для вычисления периметра треугольника АВС воспользуемся формулой .

Так как , , , то ,

, .

Тогда периметр треугольника .

2. Построить линии.

а) .

Решение. Для построения кривой приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого разделим обе части равенства на 1176. Имеем – каноническое уравнение эллипса с центом в точке О(0, 0).

Элементы эллипса:

1) Большая полуось а=7, малая полуось b= .

2) Вершины эллипса: (7, 0), (-7, 0), (0, ), (0, - ).

3) .Фокусы эллипса F₁(5, 0) и F₂(-5, 0).

4) Эксцентриситет эллипса .

П о с т р о е н и е.

б) .

Решение. Для построения кривой приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого разделим обе части равенства на 1176. Имеем – каноническое уравнение гиперболы с центром в точке О(0, 0).

Элементы гиперболы:

1) Действительная полуось а=7, мнимая полуось b= .

2) Вершины гиперболы: (7, 0), (-7, 0).

3) .Фокусы гиперболы F₁ (, 0) и

4) F₂ (- , 0).

5) Основной прямоугольник гиперболы размера . Его диагонали лежат на асимптотах гиперболы, определяемых уравнениями .

6) Эксцентриситет гиперболы .

П о с т р о е н и е.

в) x²=4y.

Решение. Кривая задана каноническим уравнением. Имеем уравнение параболы с вершиной в точке О(0, 0), осью симметрии ОY и направлением ветвей, совпадающим с направлением оси ОY.

Элементы параболы:

1) – параметр параболы.

2) Фокус F (0, 1).

3) Уравнение директрисы

П о с т р о е н и е.

г) (x+2)²-(y-3)²=9

Решение. Имеем – каноническое уравнение равнобочной гиперболы с осями, параллельными координатным осям и координатами центра (-2, 3). Для построения кривой перенесем начало координат в точку (-2, 3), т.е. сделаем замену .

В системе координат уравнение кривой будет иметь канонический вид .

П о с т р о е н и е.

д) 2x = 9y²

Решение. Для построения кривой приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого разделим обе части равенства на 9. Имеем – каноническое уравнение параболы с вершиной в точке О(0, 0), осью симметрии ОХ и направлением ветвей, совпадающим с направлением оси ОХ.

П о с т р о е н и е.

е) – общее уравнение прямой.

Решение. Для построения прямой, перейдем от общего уравнения к уравнению в отрезках: Имеем: или . Эта прямая отсекает на осях OX и OY отрезки, равные -2 и 2/3 соответственно.

П о с т р о е н и е.

ж)

Решение. Имеем общее уравнение кривой 2 порядка. Распознаем кривую по общему уравнению. Так как А =4, С =1, В =0, , то имеем эллипс.

Преобразуем уравнение: ;

;

; – каноническое уравнение эллипса с осями, параллельными координатным осям и координатами центра (-2, 2). Для построения кривой перенесем начало координат в точку (-2, 2), т.е. сделаем замену .

В системе координат уравнение кривой будет иметь канонический вид .

П о с т р о е н и е.

з) .

Решение. Кривая, заданная уравнением, называется спиралью Архимеда. Для ее построения зададим значения полярного угла и найдем из уравнения соответствующие значения полярного радиуса.

П о с т р о е н и е.