Механизм α-распада

Исторически первым методом оценки кинетической энергии α -частиц было измерение их средней длины R _α пробега в воздухе. Тщательное измерение средней длины пробега α -частиц, испускаемых различными веществами, и сопоставление ее с постоянными распада λ этих веществ позволило Г. Гейгеру и Дж. Неттолу в 1911г. получить эмпирическое соотношение

известное как закон Гейгера – Неттола, который указывает на то, что бó льшим энергиям соответствуют бó льшие вероятности распада. Константа В оказалась примерно постоянной для всех трех известных в то время радиоактивных семейств, а константа А отличалась одна от другой примерно на 5% при переходе от одного семейства к другому. Закон Гейгера – Неттола изображен графически на рис.1. Прямая 1 соответствует семейству урана, прямая 2 – семейству тория, прямая 3 – семейству актиноурана.

В это же время, еще до изобретения приборов для точного измерения энергии заряженных частиц, Г.Гейгер установил, что в области пробегов α -частиц 2, 5 – 6 см зависимость между средней длиной пробега R _α в воздухе для α -частиц и их кинетической энергией Т _α может быть представлена в виде

,

(I.11)

что позволило оценивать кинетическую энергию α -частиц по длине пробега.

Используя выражение (I.11) закон Гейгера – Неттола можно записать в другой форме:

,

(I.12)

с помощью которой устанавливается связь между постоянной распада λ вещества и кинетической энергией Т _α вылетающих α -частиц. Константы А ´ и В ´ в (I.12) имеют тот же смысл, что А и В в (I.10).

Закон Гейгера–Неттола позволяет, измеряя пробег или кинетическую энергию α -частиц, оценить постоянные распада таких ядер, для которых неприменим непосредственный метод определения периода полураспада Т _1/2 (когда Т _1/2 < < 1 с).

Точные измерения энергий α -частиц, выполненные позже с помощью магнитных α -спектрометров, позволили установить, что закон Гейгера–Неттола имеет приближенный характер. Закон Гейгера–Неттола хорошо выполняется для четно–четных ядер, а для ядер с нечетным числом нуклонов и для нечетно–нечетных ядер численные значения постоянных распада, полученные с помощью этого закона, могут отличаться от 10 до 1000 раз от экспериментально измеренных. Отступления от закона Гейгера–Неттола становятся особенно заметными, если на графике рис. 1 заменить логарифмическую шкалу абсцисс на линейную.

Периоды полураспада Т _1/2 = ln 2/λ тяжелых α -активных ядер изменяются в очень широких пределах, от 3·10^-7 с для ²¹²Ро до 1, 4·10¹⁰ лет для ²³²Th, в то время как кинетическая энергия α -частиц заключена в довольно узких пределах от 4 до 8, 8 МэВ. Возникает вопрос, почему энергетически выгодный процесс α -распада, в результате которого высвобождается энергия, не происходит мгновенно, а подчиняется закону Гейгера–Неттола? Ответ на этот вопрос дает квантовая механика.

В 1927 г. Э. Резерфорд установил, что при бомбардировке ядер урана α -частицами с = 8, 78 МэВ, которые испускались ядрами ²¹²Ро, α -частицы испытывают только кулоновское рассеяние на ядрах урана и не проникают в область действия ядерных сил. Однако кинетическая энергия α -частиц, испускаемых ядрами урана равна 4, 21 МэВ, т.е. вдвое меньше энергии бомбардирующих частиц. Эти опыты позволили заключить, что ядро урана окружено потенциальным кулоновским барьером, высота которого не меньше, чем 8, 78 МэВ. С точки зрения классической механики совершенно непонятно как α -частицы с кинетической энергией по крайней мере вдвое меньшей высоты потенциального барьера могут преодолевать такой барьер, покидая ядро.

Оценка высоты кулоновского барьера В _с на границе дочернего ядра может быть получена из закона Кулона, если заряд α -частицы считать точечным:

, МэВ.

(I.13)

Для α -распада ядра ²³⁸U оценка высоты барьера по формуле (I.13) дает величину 30 МэВ. Схема потенциального кулоновского барьера изображена на рис. 2. Область II, заключенная в пределах (R ₁ - R _Я), есть ширина барьера и по законам классической механики недоступна для движения a - частицы с кинетической энергией Т _α < U (r). Другими словами, по классическим представлениям α -частицы с энергией меньшей высоты кулоновского барьера не могут проникать из области I в область III и наоборот, а могут только отражаться от границ барьера. Однако, согласно положениям квантовой механики, α -частица, имеющая энергию Т _α и совершающая движение вдоль оси r, имеет конечную вероятность D «просочиться» из области I сквозь потенциальный барьер и оказаться в области III. Такое явление носит название туннельного эффекта, а величина D – коэффициента прозрачности потенциального барьера.

Вероятность вылета α -частицы из ядра, отнесенная к единице времени, или постоянная распада λ, будет равна числу попыток k в единицу времени пройти сквозь барьер, умноженного на вероятность D просочиться сквозь потенциальный барьер при одном столкновении со стенкой:

Число попыток в единицу времени k = Р · ν, где Р - вероятность образования α -частицы из двух протонов и двух нейтронов ядра, так как в готовом виде α -частиц в ядре нет, а ν – частота соударений образующейся α -частицы со стенками ядра. Вычисление величины Р является сложной и пока не решенной до конца задачей ядерной физики. Обширный экспериментальный материал позволяет заключить, что при α -переходах четно-четных ядер в основные и слабо возбужденные состояния. Если теперь представить, что α -частица движется внутри сферического ядра радиусом R _я со скоростью v _α , то частота ударов ν со стенкой потенциальной ямы составит v _α /2 R _я.

Скорость α -частицы в ядре можно оценить, если принять связанную с α -частицей длину волны де-Бройля h /(m_α v _α ) равной 2 R _я. Таким образом, если , то

.

(I.15)

Аппарат квантовой механики приводит к следующему выражению для коэффициента D прозрачности кулоновского потенциального барьера плоской формы (Г. Гамов, 1928 г.), равного отношению потоков α -частиц на границах барьера и дающего меру вероятности оказаться частице за пределами потенциального барьера при столкновении с его стенкой:

.

(I.16)

В этом выражении - приведенная масса a - частицы и дочернего ядра, а пределами интегрирования являются границы барьера (см. рис. 2), т.е. область, классически недоступная для движения a - частицы.

Если в (I.16) произвести замену cos ²φ = T _α / U (r), то после вычисления интеграла получим

,

(I.17)

где

.

(I.18)

Выражение (I.17) может быть использовано для оценки коэффициента прозрачности кулоновского барьера ядер сферической формы, хотя все α -активные ядра имеют устойчивую форму эллипсоидов вращения. Кроме того, при получении выражения (I.17) используется упрощенное представление о потенциале ядра в пограничной области и не учитываются конечные размеры α -частицы. Поэтому оно, являясь приближенным, неоправданно сложно, и может быть представлено более простым выражением.

Разложив (I.18) в ряд по степеням < 1, получим

.

(I.19)

Тогда

,

(I.20)

а

.

(I.21)

Подставив (I.21) в выражение (I.17) получим окончательное приближение для коэффициента прозрачности кулоновского барьера:

.

(I.22)

Следовательно, с учетом (I.15) и (I.22) постоянная распада λ дается выражением

.

(I.23)

После логарифмирования (I.23) имеем

.

(I.24)

Последнее выражение представим в виде

,

(I.25)

где

,	(I.26)
.	(I.27)

Выражение (I.25) для всех тех значений Т _α , которые встречаются у α -частиц естественных радиоактивных нуклидов, очень сходно с законом Гейгера-Неттола (I.12) по содержанию. Действительно, с ростом энергии Т _α уменьшается площадь заштрихованного криволинейного треугольника на рис.2 (уменьшаются основание и высота), которая однозначно связанна с величиной интеграла в (I.17), и коэффициент прозрачности барьера растет даже быстрее, чем по экспоненте. Различие в форме записи объясняется тем, что сам закон Гейгера – Неттола является приближенным и учитывает зависимость постоянной распада λ только от кинетической энергии Т _α испускаемых α -частиц. Однако, как следует из (I.25), (I.26) и (I.27), λ зависит не только от кинетической энергии Т _α , но также и от порядкового номера Z, радиуса ядра R _я и приведенной массы μ. В пределах каждого из радиоактивных рядов () последние два фактора изменяются крайне незначительно, так как

,	(I.28)
.	(I.29)

Поэтому теоретическая зависимость (I.25) может быть проверена особенно точно для α -активных нуклидов с одинаковыми Z. Но расчет постоянной распада λ для α -активных нуклидов по формуле (I.25) не может быть выполнен точно, так как в выражение (I.26) для расчета коэффициента а входит радиус ядра R _я, величина которого, в отличие от дискретных величин А и Z, точно неизвестна, а функциональная зависимость λ от R _я - чрезвычайно сильная, так как R _я стоит в показателе экспоненты..

Следует отметить, что формула (I.25) хорошо описывает связь постоянной распада с кинетической энергией α -частиц только для четно-четных ядер, испытывающих переходы из основного состояния материнского ядра в основное состояние дочернего. Графики, построенные по формуле (I.25) хорошо согласуется с экспериментальными точками для четно-четных нуклидов каждого из α -активных элементов. В качестве примера на рис. 3 представлено такое сравнение для α -переходов между основными состояниями четно-четных нуклидов тория.

Однако для нуклидов α -активных элементов с нечетным А экспериментальные точки не ложатся на кривые, даваемые зависимостью (I.25). Так как в ядре нуклоны одного сорта стремятся объединиться в пары с нулевым суммарным моментом, то образование α -частицы, имеющий нулевой спин, из двух спаренных протонов и двух спаренных нейтронов является наиболее вероятным. При этом четность состояний материнского и дочернего ядра не изменяется. Это условие всегда выполняется для четно-четных ядер. Но для ядер с нечетным А ситуация может измениться за счет включения в α -частицу неспаренного нуклона, в результате чего вероятность образования α -частицы у границы ядра уменьшается.