Некоторые частные математические методы и их использование в обучении

В качестве примеров частных математических методов, используемых в школьном курсе математики, отметим: а)метод уравнений и неравенств, используемый как в самой алгебре, так и в геометрии, началах анализа, в смежных дисциплинах естественного цикла; б) координатный, векторный и метод геометрических преобразований, используемые для построения школьных курсов геометрии и их изучения; в) методы дифференциального исчисления, используемые для изучения свойств различных классов функций; г) метод математической индукции, основанный на аксиоме математической индукции (одной из аксиом «формальной теории» натуральных чисел) и применяемый для доказательства самых разнообразных по содержанию и форме утверждений. При этом методы а) и б) являются частными случаями (конкретизацией) метода математического моделирования в конкретных математических теориях.

2.1. Суть метода уравнений и неравенств можно сформулировать в виде общего приёма решения текстовых задач методом уравнений и неравенств:

1) изучить содержание задачи, т.е. выявить: а) название величин, содержащихся в задаче; б) функциональные связи и основное отношение между ними; в) количество различных ситуаций в задаче; г) известные и неизвестные величины в каждой ситуации и связи между ними; если удобно, кратко записать полученные результаты в виде схемы, таблицы;

2) анализируя результаты п.1, выбрать величину (две и более), которую удобно (наиболее выгодно для решения) принять за неизвестное, и записать ее обозначение;

3) на основе п.1, выразить все величины в задаче (связанные между собой основным отношением с помощью формулы, закона и т.п.) через данные задачи и выбранное неизвестное (два и более);

4) используя основное отношение и найденные зависимости между величинами, установить равенство (два и более) или неравенство однородных величин и записать на этой основе уравнение, неравенство или систему уравнений и неравенств;

5) решить полученное уравнение (неравенство, систему);

6) вычислить значение искомой величины (величин) или границы их изменения;

7) выполнить, если нужно, проверку, исследование по условию задачи;

8) рассмотреть возможность других способов решения задачи (на основе других зависимостей между величинами), выбрать наиболее рациональный;

9) записать ответ в терминах данной задачи.

Учащимся полезно владеть и приёмом проверки решения такой задачи:

1) проверить этапы составления уравнения (неравенства, системы) по условию задачи или составлением другого уравнения (неравенства, системы);

2) проверить правильность выполнения тождественных и равносильных преобразований в решении уравнений (неравенств);

3) проверить вычисления, используя соответствующие приемы;

4) составить и решить арифметическую задачу, обратную данной;

5) если можно, решить задачу другим способом.

2.2. Суть рассматриваемых в этом пункте математических методов состоит в построении модели одной теории (в данном случае традиционной евклидовой геометрии) в объектах другой, при этом существенным требованием является наличие изоморфизма между моделью и моделируемой теорией.

Координатный метод – это способ определения положения точки (на прямой, на плоскости, в пространстве) с помощью чисел (для декартовой системы координат). Используя координатный метод можно искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул (уравнений и их систем), и, наоборот, истолковывать алгебраические уравнения в виде геометрических образов (графиков). Этапы использования координатного метода при решении задач и доказательстве теорем геометрии следующие:

1) разместить фигуры на координатной плоскости (в пространстве) так, чтобы более рационально можно было выразить в координатной форме отрезки фигуры (как данные, так и искомые) и «увидеть» использование координатного метода для нахождения искомого элемента;

2) записать в координатной форме необходимые точки фигуры, уравнения линии, расстояние между точками, координаты середин отрезков и т.п.;

3) выполнить преобразования полученных в координатной форме выражений;

4) осмыслить полученные результаты на том языке, на котором была дана задача.

Основные этапы векторного метода:

1) перевести условие задачи (теоремы на язык векторов, что заключается в введении в рассмотрение векторов, выборе системы координат (если это необходимо), выборе базисных векторов, разложении всех введенных векторов по базисным;

2) составить векторное равенство (или систему векторных равенств);

3) упростить полученные векторные равенства;

4) заменить векторные равенства алгебраическими уравнениями, решить;

5) объяснить геометрический смысл полученного решения.

Метод геометрических преобразований в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии (например, равенства, параллельности, подобия). Его применение предполагает выполнение следующих этапов:

1) выбрать геометрическое преобразование, которое позволит обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии;

2) выполнить выбранное преобразование, так, чтобы один объект переходил в другой;

3)исследовать полученный новый объект и его свойства;

4) обосновать наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного преобразования.

Для овладения учащимися этими методами и использования их для обучения математике, учителю необходимо организовать:

а) формирование у учащихся понятийного аппарата каждого метода;

б) усвоение учащимися сути метода, приемов его применения;

в) применение метода к решению разнообразную задач.

Подробнее мы будем об этом говорить в методике обучения геометрии.

2.3. Одна из задач курса «Алгебра и начала анализа» - завершение изучения функциональной линии, для чего учащиеся знакомятся с понятиями, результатами, методами математического анализа в объеме, который позволяет исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи. Производная выступает не только методом исследования функций, но и инструментом, с помощью которого изучаются многие процессы естествознания, явления реального мира.

Метод дифференциального исчисления состоит из следующих компонентов: 1) отыскание производной функции в точке и на отрезке, 2) определение характера изменения функции по знаку производной, 3) выявление критических точек производной, 4) вычисление экстремумов функции и наибольших (наименьших) ее значений на отрезке, 5) применение 1-4 компонентов для решения сюжетных задач, 6) применение производной для приближенных вычислений. Этапы работы учителя те же, что и в П. 2.2.

2.4. Метод математической индукции формулируют так: если какое-либо утверждение, сформулированное для натурального числа n, проверено для n=1 и из допущения его истинности для некоторого значения n=k следует (может быть логически выведена) его истинность для значения n=k+1 (следующего за числом k), то утверждение верно для любого натурального n. Таким образом, метод математической индукции, применяемый к доказательству некоторой теоремы (формулы), содержит следующие этапы:

1) проверить истинность теоремы (формулы) для n=1;

2) допустить, что теорема (формула) верна для некоторого n=k, и, исходя, из этого допущения, доказать истинность теоремы для n=k+1;

3) на основании п.п.1 и 2 и принципа математической индукции сделать вывод, что теорема (формула) верна для любого натурального n.

Понятно, что наибольшее разнообразие (и наибольшую трудность для учащихся соответственно) представляет реализация второго этапа метода, которая определяется не только формой его применения, но и особенностями тех разделов математики (числовые тождества, тождественные неравенства, свойства прямых па плоскости и т.д.), которые представлены в данном утверждении. Поэтому учителю, использующему этот метод, целесообразно обращать внимание учащихся на полезность накопления информации о приемах перехода от n к n+1.