Численное интегрирование. Численное интегрирование

Лабораторная работа №11

Численное интегрирование

Цели работы:

· разработка алгоритмического и программного обеспечения численного вычисления определенного интеграла

· построение графиков параметрических и кусочно-непрерывных функций.

Необходимое оборудование и материалы.

· ОС Windows XP; Vista, 7.

· Matlab 6.5, 7.x;

· ПК класса не ниже Pentium II, RAM 128Mb.

Трудоемкость: 4 академических часа.

Численное интегрирование

Численное интегрирование – приближенное вычисление значения определённого интеграла, основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b – пределы интегрирования (рис 1).

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

,

где – число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа – весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Рис. 1. К пояснению принципа численного вычисления определенного интеграла.