Численное дифференцирование функций

Ранее мы говорили, что для равноотстоящих узлов при в качестве приближённого значения производной для дифференцируемой функции можно принять

Однако такой подход не применим т.к. в большинстве случаев приводит к большим погрешностям при увеличении порядка производной.

Поэтому при вычислении производных функции в точке удобнее всего пользоваться формулами Ньютона.

Если известно, что функция заданная таблично, достаточно гладкая, то значение производной в любой точке интерполирования можно искать через производную интерполяционного многочлена . При этом полагают, что . Т.о. .

Для нахождения производных в точках идущих в начале таблицы используется первый интерполяционный многочлен, а для нахождения производных в конце таблицы 2 интерполяционный многочлен.

Пример: Пусть функция задана таблицей с шагом h=0, 1. Вычислить производную в точке 1, 06.

Т.к. значение аргумента находится в конце таблицы, то применяем 2-ю интерполяционную формулу Ньютона (интерполирование назад).

1, 0£ 1, 06£ 1, 1. Значит полагаем x_n=1, 1, y_n=3, 0042, Dy_n-1=0, 2859, D²y_n-2=0, 027,

D³y_n-3=0, 0026.

Тогда

и .

В данном случае

Существует другой подход к нахождению производных функции. Их можно искать без интерполяционных многочленов, выражая непосредственно через конечные разности.

Приблизим функцию формулой Ньютона и по формуле Маклорена. Получим:

и

Расположим многочлен Ньютона по возрастанию степеней t.

Сравнивая коэффициенты при соответствующих t получим

Т.к. , то при x=x₀