Квадратурная сумма и связанные с ней задачи.

Интеграл можно с определённой долей погрешности представить в виде , для x_k принадлежащих [a; b].

Такое представление определённого интеграла называется квадратурной суммой, а её параметры соответственно A_k – квадратурными коэффициентами, x_k – квадратурными узлами. Квадратурная сумма однозначно определяется 2n+1 параметром: n значений А_к, n значений х_k и сам параметр n.

Т.к. точность вычисления интеграла зависит от числа разбиений n, то значение n должно быть достаточно велико. Остальные же параметры подбираются так, чтобы функция при интегрировании давала наилучшее приближение для класса функций f(x).

При выборе параметров квадратурной суммы поступают следующим образом. Если функция f(x) известна или задана таблицей значений f(x_k) в некоторой системе узлов x_k k= и на выбор коэффициентов не налагаются дополнительные ограничения, то используют интерполяционные квадратурные формулы. Основой для таких формул служат интерполяционные многочлены Лагранжа.

1. По узловым точкам строится интерполяционный многочлен Лагранжа:

,

где

2. Считая f(x)=L_n(x), получаем

где – интеграл от интерполяционного многочлена Лагранжа.

Квадратурные формулы, у которых коэффициенты A_k определяются данным способом называются интерполяционными.