Метод трапеций. Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f (x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f (x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Рис. 5.7

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}] длины h = , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, …, n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I = » I _тр = h = (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [ a, b ]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I _тр| £ h ², (5.8)

где M ₂ = | f " (x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим:

I _тр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f " (x)| £ M ₂ = 2. Поэтому по формуле (5.8)

| I – I _тр | £ (0.1)² » 1.7× 10^-3.

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

Метод Симпсона (метод парабол)

Заменим график функции y = f (x) на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}], i = 0, 2, …, n – 1, параболой, проведенной через точки (x_i, f (x_i)), (x , f (x )), (x_{i+ 1}, f (x_{i+ 1})), где x - середина отрезка [ x_i, x_{i+ 1}]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L ₂(x) с узлами x_i, x , x_{i+ 1}. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

y = L ₂(x) =

f (x ) + (x – x ) + (x - x )², (5.9)

где h = .

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}], получим

I_i = » = (f (x_i) + 4 f (x ) + f (x_{i+ 1})). (5.10)

Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, …, n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

I = » I _С = (f (x ₀) + f (x_n) + 4 + 2 ). (5.11)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [ a, b ] непрерывную производную четвертого порядка f ⁽⁴⁾(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I _С | £ h ⁴, (5.12)

где M ₄ = | f ⁽⁴⁾(x)|.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [ a, b ], четно, т.е. n = 2 m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [ x_i, x_{i+ 1}] длины h рассматривать отрезок [ x _{2 i} , x _{2 i+ 2}] длины 2 h. Тогда формула Симпсона примет вид:

I» (f (x ₀) + f (x _{2 m}) + 4 + 2 ), (5.13)

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I _С | £ h ⁴, (5.14)

Пример 5.3.

Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11), получим:

I _С = 0.74682418.

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f ⁽⁴⁾(x).

f ⁽⁴⁾(x) = (16 x ⁴ – 48 x ² + 12) e , | f ⁽⁴⁾(x)| £ 12.

Поэтому

| I – I _С | £ (0.1)⁴» 0.42 × 10^-6.

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим, что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.