Правило Рунге практической оценки погрешности

Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

I – I^h» Ch^k, (5.15)

где I^h приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C ¹ 0 и k > 0 – величины, не зависящие от h.

Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:

I – I^{h/ 2}» Ch^k » (I – I^h). (5.16)

Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f (x). В вычислительной практике используются другие оценки.

Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):

I^{h/ 2} – I^h » Ch^k (2 ^k – 1). (5.17)

Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство:

I – I^{h/ 2}» . (5.18)

Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами h.

Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид:

I – I _пр » , (5.19)

I – I _тр » , (5.20)

I – I _С » . (5.21)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I . Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на e.

Пример 5.4.

Найдем значение интеграла с точностью e = 10^-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага. В примере 5.2 было получено значение I при h ₁= 0.1, I^h =0.74621079. Уменьшим шаг вдвое: h ₂ = 0.05 и вычислим I = 0.74667084, e ₂ = (I - I ) = (0.74667084 – 0.74621079)» 1.5× 10^-4. Так как | e ₂| > e, то снова дробим шаг: h ₃ = 0.025, вычисляем I = 0.74678581, e ₂ = (I - I ) = (0.74678581 – 0.74667084)» 4× 10^-5. Поскольку | e ₃| < e, требуемая точность достигнута и I» 0.7468 ± 0.0001.