Общая формула Симпсона и ее остаточный член

Пусть n=2m есть четное число и - значения функции для равноотстоящих точек

с шагом .

Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h, будем иметь

.

Следовательно,

Отсюда получаем общую формулу Симпсона:

.

Обозначив через s-левую часть, и используя значок суммы, интеграл по формуле Симпсона можно записать в более компактном виде:

Если функция непрерывно дифференцируема до четвертого порядка, то ошибка формулы Симпсона на каждом удвоенном промежутке дается формулой:

, где .

Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде:

.

непрерывна на отрезке [ a, b ], поэтому найдется точка такая, что .

Следовательно (8.9)

где .

Определение оптимального шага интегрирования.

, где S -это интеграл, найденный по квадратурной формуле, а R -остаточный член.

Отбрасывая остаточный член R мы совершаем погрешность усечения, (к ней добавляется вычислительная погрешность,) поэтому остаточный член R должен быть меньше заданной точности.

Если задана предельная допустимая погрешность , то, обозначив , будем иметь для определения шага h неравенство:

, отсюда

,

т.е. h имеет порядок . Говорят, что степень точности метода Симпсона равна четырем.

Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами h и 2 h и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.

Предполагая, что на отрезке [ a, b ] производная меняется медленно, в силу формулы (8.9), получаем приближенное выражение для искомой ошибки

, где коэффициент M будем считать постоянным на промежутке интегрирования. Пусть и - приближенные значения интеграла , полученные по формуле Симпсона соответственно с шагом h и H=2h. Имеем:

и

. Отсюда

.

За приближенное значение интеграла целесообразно принять исправленное значение

.

Пример

Вычислить интеграл

по методу трапеций с тремя десятичными знаками.

Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы остаточный член был меньше заданной точности. Чтобы знаки после запятой все были верными, возьмем точность 0, 0005

Вместо второй производной в произвольной точке возьмем самое большое значение ее на промежутке интегрирования.

8.6. Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу

, (8.10)

где - постоянные коэффициенты. Чебышев предположил выбрать абсциссы таким образом, чтобы:

1. коэффициенты были равны между собой;

2. квадратурная формула (8.10) являлась точной для всех полиномов до степени n включительно.

Покажем, как могут быть найдены в этом случае величины и . Полагаем

.

Учитывая, что при , будем иметь

,

получаем .

Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид:

. (8.11)

Для определения абсцисс заметим, что формула (8.11) согласно условию 2 должна быть точной для функции вида . Подставляя эти функции в формулу (8.11), получим систему уравнений:

, (8.12)

из которой могут быть определены неизвестные . Заметим, что система (8.12) при n=8 и n³ 10 не имеет действительных решений.

Выведем формулу Чебышева с тремя ординатами (n=3)

Для определения абсцисс имеем систему уравнений

(8.13)

Рассмотрим симметрические функции корней:

Из системы (8.13) имеем:

Отсюда заключаем по теореме Виета, что есть корни вспомогательного уравнения

или

.

Следовательно, можно принять:

.

Таким образом, соответствующая формула Чебышева имеет вид

.

Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида , следует преобразовать его с помощью подстановки:

,

переводящей отрезок

в отрезок

. Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева, будем иметь

,

где и - корни системы (8.13).

В таблице приведены значения корней t_i системы (8.12) для n=1, 2…, 7

Таблица 8.1. Значения абсцисс t_i в формуле Чебышева

8.7. Квадратурная формула Гаусса

Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты

,

чтобы квадратурная формула

(8.14)

была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Так как в нашем распоряжении имеются 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень полинома в общем случае равна N=2n-1.

Для обеспечения равенства (8.14) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при .

Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла

.

Делая замену переменной

, получим

.

Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим:

, (8.16)

где ,

- нули полинома Лежандра , т.е. .

Остаточный член формулы Гаусса (8.16) с n узлами выражается следующим образом:

.

Отсюда получаем:

,

,

,

,

.

Таблица 8.2 Элементы формулы Гаусса