D уравнения теплопроводности

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЙ ПРОЕКТ ПО МЕТОДАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРООБЕСПЕЧЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 230105 (ПОВТ) группы 2, 3. (07.02.2011—20.05.2011)

Старший преподаватель М.В.Степанов, 8-903-672-8799, blumenstrasse2007@rambler.ru

Численное решение итерационным методом

D уравнения теплопроводности

Уравнение теплопроводности – нестационарное (изменяющееся со временем) дифференциальное уравнение в частных производных, для 2D случая имеет следующий вид:

, (1)

где

· – нестационарное 2D распределение температуры,

· – коэффициент теплопроводности материала.

Введём в функциональном 3D пространстве сетку с шагами . Для удобства вычислений – равномерную по пространственным переменным : . В основе простейшего итерационного конечно-разностного метода решения дифференциальных уравнений в частных производных лежит замена:

· в правой части (1) вторых производных центральными разностями по ;

· в левой части (1) первой производной разностью вперёд по .

. (2)

Конечно-разностное уравнение (2) преобразуем в форму, удобную для итерационного решения:

. (3)

Форма (3) записи уравнения теплопроводности (1) и (2) позволяет находить следующее по времени значение исходя из известных на данный момент текущих значений . Для итерационного процесса необходимо задать начальные и граничные условия.

Начальные условия определяют начальное 2D распределение значений при . Например, в начальный момент времени точка с координатами разогрета некоторым внешним воздействием (удар микрометеорита по корпусу КА, точечная подсветка мощным импульсом лазерного излучения, монтажник точечно задел горячим паяльником и т.п.) до некоторой температуры:

. (4)

Граничные условия определяют ситуацию на границах 2D диапазона вычислений

(5)

Пусть внешнее воздействие в заданной точке привело к разогреву до температуры:

,

а температура на границах диапазона вычислений равна температуре окружающей среды, для простоты – комнатной температуре:

.

Имея форму итерационной записи (3), начальные (4) и граничные условия (5), можно найти решение уравнения (1), то есть, рассчитать динамику изменения 2D распределения температуры для последовательных моментов времени .

Значение коэффициента теплопроводности является табличной величиной и берётся из физических справочников. Имеет размерность . Вообще-то, коэффициент теплопроводности является функцией температуры: , но для упрощения расчётов примем, что коэффициент теплопроводности является константой и будем использовать табличные значения при T=300K: .