Теоретические сведения. Постановка задачи. Решение уравнений является одной из задач, наиболее часто встречающихся в практике инженера

Постановка задачи. Решение уравнений является одной из задач, наиболее часто встречающихся в практике инженера. Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде

. (1.1)

Решением уравнения (1.1) называется такое значение (корень уравнения), при котором . Формулы для нахождения точного значения корней известны только для узкого класса уравнений. На практике часто встречаются уравнения, которые невозможно решить с помощью элементарных приемов. Кроме того, в инженерных расчетах в большинстве случаев нельзя говорить о точном решении уравнений, так как входящие в них коэффициенты заданы приближенно. Поэтому важное значение приобретают методы, позволяющие сколь угодно точно находить корни уравнения (1.1).

Задача решения уравнения с заданной точностью обычно содержит два этапа:

а) отделение корней – выделение отрезков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1.1);

б) уточнение приближенных корней, т.е. вычисление их с требуемой точностью.

Для каждого из этапов решения задачи разработаны свои численные методы.

Отделение действительных корней. Рассмотрим уравнение (1.1). Для отделения корней используем теорему Больцано–Коши: если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. , то внутри этого
отрезка находится по крайней мере один корень уравнения . Этот корень будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .
На практике часто используют табличный метод отделения корней и графический.

1. Табличный метод (метод перебора).

Находим знаки функции в ряде точек из области определения функции , , , …. Если , то в силу сформулированной выше теоремы на отрезке имеется по крайней мере один корень уравнения . Теперь нужно тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным. Если на отрезке не меняет знак, корень – единственный (в силу монотонности ).

2. Графический метод.

Строим график функции и по чертежу находим интервалы, содержащие абциссы точек пересечения графика функции с осью , т.е. нули функции . Если уравнение не имеет близких по значению корней, то этим способом корни легко отделяются. Иногда уравнение удобно представить в виде , где функции – более простые, и, построив графики функций и , определить интервалы, содержащие точки их пересечения.

Рассмотрим этап отделения корней в случае алгебраического уравнения n-степени ():

, (1.2)

где коэффициенты – действительные числа, причем .

Основная теорема алгебры: алгебраическое уравнение n-степени (а следовательно, и полином P(x)) имеет ровно n корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Теорема 1. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.2) действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если ( – действительные) есть корень уравнения (1.2) кратности s, то число также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.

Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере одиндействительный корень.

Грубая оценка модулей корней уравнения (1.2) получается на основании теоремы 2.

Теорема 2. Пусть , где – коэффициенты уравнения (1.2). Тогда модули всех корней уравнения (1.2) удовлетворяют неравенству

,

т.е. корни этого уравнения на комплексной плоскости расположены внутри круга.

Уточнение корня методом половинного деления. Пусть найден отрезок , на котором находится единственный корень уравнения . Обозначим его . Для нахождения корня уравнения делим отрезок пополам. Если , то и задача решена. В случае выбираем ту половину отрезка , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам, повторяем те же действия и т.д. В результате на каком-то этапе получаем точный корень уравнения или последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , …. Доказано, что . Для вычисления корня уравнения с точностью до отрезок делим до тех пор, пока выполнится условие . За приближённое значение корня выбираем среднее значение на отрезке :

.

Дихотомия проста и надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций , в том числе и недифференцируемых. Метод половинного деления устойчив к погрешностям округления, но сходится он медленно. Количество итераций, необходимое для достижения заданной точности , можно оценить заранее по формуле

.