Метод простых итераций.

Поясним его с помощью графиков. Имеем нелинейное уравнение f(x) = 0. Представим его в виде x=f₁(x). Для этого уравнения легко получить графическое решение.

рис.1.3 рис.1.4

Левая часть уравнения рассматривается как y=x, а правая y=f₁(x). Решение x^* - точка пересечения прямой и кривой.

Задавая начальное значение x₀, определяем y=f₁(x₀), переходим на прямую, определяя по значению y значение x и т. д.. На рис 1.3 процесс итераций сходится, а на рис 1.4 – расходится. Для иных вариантов расположения кривых показаны рис. 1.5 и 1.6. Точно также наблюдаем, что на рис.1.5 итерации сходятся, а на рис. 1.6 – расходятся.

рис.1.5 рис. 1.6

Алгоритм метода простых итераций в общем виде запишется так:

Задавая необходимую точность ε определения корня уравнения, можно завершить процесс итераций. Обычно . Легко увидеть, что благоприятный результат имеет место, если производная от y₁ по модулю .

Идея итераций используется также для решения иных типов уравнений.

Задание для самостоятельной работы:

Реализовать на МATLAB решение нелинейных уравнений методом итераций

а) x-xcosx=0;

б) x-e^-x =0;

в) x-x 2^-x=0;

г) 1- x + x²/4=0;

д)Доказать эквивалентность алгоритмов метода Ньютона и метода итераций.

Требуется составить программы, определить диапазон существования решения и построить графики.

Отдельные корни можно найти с помощью стандартной функции МATLAB x=fzero('sin(x)-x.^2.*cos(x)', -5). Уравнение записывается в кавычках, а далее начальное приближение. Вместо начального приближения можно записать в скобках [-5, -3] диапазон, в котором следует определить корень. Кроме того, вместо выражения в кавычках можно записать имя любого.m файла, в котором записано уравнение. Особенностью оператора fzero является то, что он позволяет определять только те корни, в которых функция меняет знак.

Приведем простой способ построения графика произвольной функции с помощью стандартного оператора ezplot:

ezplot(‘ x-2*x.*sin(x)’). После выражения в кавычках можно указать, через запятую, желаемый диапазон построения функции [-6 0].