Метод хорд. - Задаем интервал [xi-1 , xi] и проверяем противоположность знаков функций на концах интервала .

- Задаем интервал [ x_i-1, x_i ] и проверяем противоположность знаков функций на концах интервала .

- Точку пересечения с осью x-x ищем не по кривой, а по хорде.

- Рассматривая подобие прямоугольных треугольников (треугольник, образованный хордой и штрих пунктирными линиями, и треугольник, образованный хордой и осью абсцисс), запишем: .

Рис. 1.9

- Отсюда - получен алгоритм метода хорд.

- Проверяем знаки функций на полученных интервалах слева и справа от точки и выбираем новые границы интервала.

- Повторяем итерации. Одна граница остается неизменной, а вторая изменяется на новое приближение.

Алгоритм метода хорд повторяет идею метода Ньютона, поскольку в качестве производной рассматривается приближенное выражение:

.

Часто метод хорд называют методом ложного положения по той причине, что хорда и кривая не могут выйти в одну точку, т.е. точное решение получить невозможно.

Метод Ньютона и метод хорд получили дальнейшее развитие. Эти идеи сводятся к следующим соображениям.

Первая. Вместо хорды можно рассматривать секущую, проходящую через две точки кривой. В этом случае алгоритм расчета можно получить с помощью рис. 1.10.

Алгоритм выбора второй точки усложняет задачу.

Вторая. После первого приближения секущую проводят из следующей по порядку итераций точки. На рис. 1.11 показан этот вариант реализации алгоритма.

рис.1.11 рис.1.10

В профессиональных программах используют комбинации описанных идей и методов. Все методы, в которых возможность получения решения зависит от начального приближения, называют локально сходящимися.

Сходимость метода Ньютона для простых корней n=2 (квадратичная), для метода секущих n=1.618. Для кратных корней сходимость метода Ньютона линейная n=1. Для метода Ньютона требуется вычисление функции и производной на каждой итерации, а остальные ранее перечисленные методы не используют ее в явном виде. Все вышесказанное относится к решению одного нелинейного уравнения.

Отметим общее, для всех рассмотренных методов, обстоятельство. Если задана только абсолютная погрешность приближения корня, а величина корня велика, то решить задачу невозможно. Малое значение абсолютной погрешности выйдет за пределы разрядной сетки. Поэтому в профессиональных программах требуется задавать и относительную погрешность. Точно также нельзя задавать одну относительную погрешность для корней близких к нулю.

Задание для самостоятельной работы:

Реализовать на МATLAB решение нелинейного уравнения

методами дихотомии, хорд и секущих для любого уравнения по собственному выбору.

а) x³- x²- x+1= 0;

б ) 4x²- e^-x = 0;

в) x³ - 3x+ 2= 0;

г) x³ – x - 2= 0;

д) x² – x + 2= 0.

Сравнить затраты времени на расчет корней в каждом методе. Для этого необходимо использовать операторы МATLAB tic и toc. Первый располагается в начале программы расчета корней, а второй - в конце. Результат выдается в мс.

Приведем далее программы, реализованные на МATLAB, для методов дихотомии, простых итераций, Бэрстоу, хорд и секущих.