Интерполяционные полиномы Эрмита

При интерполяции полиномами Эрмита требуется выполнение двух условий:

в узловых точках должны совпадать значения функции и ее производной . (). Но постановка задачи сохраняется. Будем искать многочлены и такие, что при

если они найдены, то имеет место

Определим Если и , то должен содержать множитель

Если , а , то должен содержать простой множитель :

Аналогичным образом можно получить . При будут получены множители чтобы и . Но для того, чтобы и необходим множитель в виде , тогда

(3.1)

Взяв производную от и положив , получим

(1) (3.2)

По условию , т.е. . Из (3.2) , где .

И, наконец, .

Возможно приближение в точках i по производным более высокого порядка. Метод справедлив для произвольного расположения точек. Для равноотстоящих значений аргумента формулы несколько упрощаются. В практических расчётах чаще используется именно этот случай.

3.3.Интерполяционная формула Ньютона.

Удобна тем, что позволяет легко изменять в процессе счета количество используемых узлов. Применима для равномерного и произвольного расположения узлов.

Имеем точек для , через которые проходит многочлен

(3.3)

Формулу Ньютона удобно использовать с помощью таблицы № 3.1. Знаком * обозначены опорные значения, необходимые для вычисления многочлена.

Таблица № 3.1

		*
				*

Структура разностей группируется относительно опорных значений, которые обозначены значком *. Они введены следующим образом: и . Упрощенно они обозначены Индекс соответствует первой, второй и т.д. разности.

Введём понятие – разделённые разности – это разности функций в некоторых точках отнесённые к разности аргументов в этих точках:

… …

Первые разделённые разности – близки к первым производным в интервале между узловыми точками. Вторые разделённые разности близки ко вторым производным и т.д.

Для равноотстоящих значений аргумента формула Ньютона приобретает следующий вид. Пусть и . Обозначим .

-для интерполяции “вперёд”.

-для интерполяции “назад”.

Получили аналог ряда Тейлора. Для полиномов степени n он конечен.

Покажем близость разделенных разностей к соответствующим производным.

- первая производная.

- вторая производная.

… …

- производная n -го порядка.

Производные можно определять различным способом.

Производные определяются в точках между

, узлами.

,

… …

.

При определении производных в граничных точках следует использовать аппроксимацию производных способами “вперёд” или “назад”.

Приведем программу интерполяции методом Ньютона.

function [C, D]=newpoly(X, Y)

%Вектор абсцисс X

%Вектор ординат Y

%Вектор коэффициентов интерполирующего полинома С

%Таблица разностных отношений D

% Обращение из МАTLAB: X=0: 0.5: 2; Y=exp(-X).*sin(3*X); [C, D]=newpoly(X, Y)

n=length(X);

D=zeros(n, n);

D(:, 1)=Y';

%Расчет разностных соотношений

for j=2: n

for k=j: n

D(k, j)=(D(k, j-1)-D(k-1, j-1))/(X(k)-X(k-j+1));

end

end

%Определение коэффициентов интерполирующего полинома С

C=D(n, n);

for k=(n-1): -1: 1

C=conv(C, poly(X(k)));

m=length(C);

C(m)=C(m)+D(k, k);

end

X=0: 0.1: 2;

Y=exp(-X).*sin(3*X); Y1=C(1).*X.^4+C(2).*X.^3+C(3).*X.^2+C(4).*X;

plot(X, Y, X, Y1)

3.4.Итерационно – интерполяционный метод Эйткена.

- используется для вычисления многочлена, без его аппроксимации с применением итераций. Пусть интерполяционный многочлен, определяемый парами точек:

, , , …,

так что в этих точках он совпадает с , т.е. .

Можно составить следующею таблицу линейной интерполяции многочленов (от точки к точке):

(3. 4)

(3.5)

Процесс вычислений заканчивается, если у значений двух интерполяционных многочленов последовательных степеней совпадает требуемое количество знаков. Ясно, что метод применим для таблично заданных функций.

Логика построения интерполяционных многочленов такова, что сначала проводится линейная интерполяция между соответствующими точками и для функций и ,

Что видно из формулы (3.4). Точно также весь ряд этих формул (строка) даёт линейную интерполяцию между соответствующими точками. Далее следует линейная интерполяция (3.5) по трём точкам, но с учётом полученных значений функций, т.е. практически квадратичная интерполяция по трём точкам. И далее процесс повторяется, вовлекая в расчёт большее количество точек и повышая степень интерполяционного полинома.