Полиномы Чебышева.

Полиномы Чебышева определяются следующим образом: , где .

Поэтому .

n =0

n =1

n =2

Получим рекуррентное соотношение между и .

Запишем и .

Складываем полученные равенства: и запишем в рекуррентном виде: (3.6)

Таким образом, зная и , по (3.6) можно получить полином Чебышева любого порядка. Обычно они приведены в приложениях математических справочниках.

Приведем программу интерполяции функции полиномом Чебышева:

function [C, X, Y]=cheby0(n, a, b)

%n степень интерполирующего полинома

%[a, b]-интервал

%Вектор абсцисс X

%Вектор ординат Y

%Вектор коэффициентов интерполирующего полинома С

%Обращение из МАTLAB: [C, X, Y]=cheby0(3, -1, 1)

d=pi/(2*n+2);

C=zeros(1, n+1);

for k=1: n+1

X(k)=cos((2*k-1)*d);

end

X=(b-a)*X/2+(a+b)/2;

x=X;

Y=eval('exp(x)');

for k=1: n+1

z=(2*k-1)*d;

for j=1: n+1

C(j)=C(j)+Y(k)*cos((j-1)*z);

end

end

C=2*C/(n+1);

C(1)=C(1)/2;

%Проверка интерполирующего полинома 3-го порядка

X=0: 0.1: 2;

Z=C(1)+C(2)*X+C(3)*(2*X.^2-1)+C(4)*(4*X.^3-3*X);

Z1=exp(X);

plot(X, Z, 'r', X, Z1, 'b')