Метод простых итераций

Представить систему вида (1) в итерационной форме можно путем записи каждого его уравнения в виде решения одного из неизвестных.

Для системы из трех уравнений итерационная форма записи выглядит следующим образом:

(6)

Или в матричном виде

Элементы матрицы С и вектора d вычисляют по формулам

При использовании итерационного метода решения необходимо осенить сходимость метода для данной системы, которая зависит только от матрицы коэффициентов С. Процесс сходится в том случае:

1. если норма матрицы С меньше единицы;
2. если максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по строкам, должна быть меньше единицы;
3. если максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.

Каждое из этих условий является достаточным для того, чтобы итерационный процесс сходился.

Это условие является достаточным для сходимости метода. Для его выполнения необходимо, чтобы на этапе приведения к итерационной форме каждое уравнение системы решалось относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент. Поэтому порядок расположения уравнений в системе имеет важное значение.

Стратегия метода простых итераций основана на последовательном приближении к искомому решению системы, при этом каждое следующее (k+1)-е приближение получается в результате подстановки в правую часть преобразованной системы приближения, полученного на предыдущей k-ой итерации, т. е.

Рассмотрим решение той же системы линейных алгебраических уравнений с точностью e≤ 0, 005.

Введем матрицу коэффициентов А и вектор свободных членов b.

Для того, чтобы метод простой итерации сходился необходимо привести систему к виду с преобладающими диагональными элементами.

Рисунок 6

Приводим систему к виду, пригодному для дальнейших итераций

Рисунок 7

Рисунок 8

Необходимо проверить сходится ли метод простой итерации для данной системы уравнений.

К сожалению, для данной системы уравнений не выполняется ни одно из условий сходимости.

Попробуем решить другую систему линейных алгебраических уравнений методом простой итерации:

Рисунок 9

Для этой системы выполняются два из трех условий сходимости.

Введем начальное приближение (в данном случае это 0; 0; 0) и введем формулы вычисления первой итерации,

Рисунок 10

после этого вычисляем разницу между двумя итерациями:

Рисунок 11

При помощи маркера автозаполнения растянуть диапазон итераций до тех под, пока не будет достигнута заданная точность, т. е. пока как минимум 3 итерации будут отличаться друг от друга меньше чем на 0, 005.

Рисунок 12

Для данной системы достаточно семи итераций.

Варианты

Вар	Вар