Линейные оценки погрешностей.

Для того, чтобы найти оценку погрешности результата вычислений по любой формуле достаточно уметь оценивать погрешность результатов арифметических операций и значений элементарных функций. Рассмотрим, как это можно сделать.

1. Z=X+Y

X_c и Y_c неизвестны, зато известны Х_а, Y_а, ∆ Х_а, ∆ Y_а

Требуется найти Z_а и ∆ Z_а.

Z_а=Х_а+Y_а

2. Z=X-Y

∆ (X_а±Y_a)=∆ X_a+∆ Y_a (1)

3. Z=X*Y

Z_a=X_a*Y_a

Учитывая (1) и используя формулу ∆ lnX≈ dlnX получим ∆ lnZ_a=∆ lnX_a=∆ lnY_a

4. .

(2)

5. y=f(x) – дифференцируемая функция.

Известно Х_а и ∆ X_a. Требуется найти Y_a и ∆ y_a. Y_a=f(Х_а)

Применим для функции f(x) на отрезке с концами в точках Х_а и Х_с теорему Лагранжа, согласно которой между точками Х_а и Х_с существует точка С такая, что f(X_c)-f(X_a)=f’(C)(X_c-X_a) Заметим, что Х_с и С содержатся в отрезке [Х_а-∆ Х_а, Х_а+∆ Х_а]. Если на этом отрезке производная функции f’(X_a)≠ 0, то можно приближенно считать, что f(C)≈ f’(X_a) (3)

Обычно при расчетах используют линейные оценки погрешностей формул (1)-(3), несмотря на то, что последние (2) и (3) являются приближенными. Это происходит потому, что условия их применимости в подавляющем большинстве случаев выполняются.