Численные методы. Задание n 34 сообщить об ошибке Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени может быть составлен по таблице значений функции вида …

ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Значение определенного интеграла по формуле парабол (Симпсона) можно приближенно найти как …

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

На отрезке задано дифференциальное уравнение . Значение производной второго порядка в точке может быть заменено выражением …

Решение:
Значение производной второго порядка в точке может быть заменено по формуле: ,
где , .
В нашем случае верной будет, например, замена , при .

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Функция представлена таблицей

Тогда значение , вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно …

– 3

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Значение определенного интеграла по формуле трапеций можно приближенно найти как …

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

На отрезке задано дифференциальное уравнение . Значение производной в точке может быть заменено выражением …

Решение:
Значение производной в точке может быть заменено по одной из трех формул: , , , где , .
Тогда, например, можно воспользоваться заменой
, при .

ЗАДАНИЕ N 38 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

Для задачи Коши выполнен один шаг получения приближенного решения методом Эйлера с шагом . Тогда точка ломаной Эйлера …

расположена ниже приближаемой интегральной кривой

Решение:
По условию задачи известно, что начальная точка ломаной Эйлера имеет координаты: . Пусть методом Эйлера получена следующая точка ломаной Эйлера: , где .
Выясним, где располагается точка относительно интегральной кривой, являющейся точным решением данной задачи.
Вычислим . Получим и вычислим , . Следовательно, интегральная кривая данной задачи выпукла вниз в точке . И вообще, всюду в I координатной четверти .
Таким образом, интегральная кривая, являющаяся решением данной задачи в I координатной четверти — выпуклая вниз функция. Значение же — это значение ординаты касательной, построенной к интегральной кривой в точке , в точке . А эта касательная расположена под графиком интегральной кривой и .

ЗАДАНИЕ N 39 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Функция представлена таблицей

Тогда значение , вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно …

Решение:
Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы

имеет вид:

В нашем случае получим:
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 40 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Значение дифференциала функции в точке равно …

Решение:
Воспользуемся формулой .
В нашем случае ; ; ; ; ; ; ; и ; .
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 38 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Функция представлена таблицей

Тогда значение , вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно …

– 3

Решение:
Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы

имеет вид:

В нашем случае получим: .
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 39 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Метод левых прямоугольников дает приближенное значение интеграла …

с недостатком

Решение:
Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников дана на рисунке:

На участке монотонного возрастания неотрицательной подынтегральной функции левый прямоугольник (прямоугольник с высотой, равной значению подынтегральной функции в левом конце частичного отрезка) находится целиком внутри соответствующей криволинейной трапеции, поэтому его площадь строго меньше площади трапеции. В интеграле подынтегральная функция является монотонно возрастающей на отрезке , поэтому все прямоугольники находятся внутри соответствующих криволинейных трапеций, и приближенное значение интеграла вычислено с недостатком.

ЗАДАНИЕ N 40 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

Методом Эйлера решается задача Коши , с шагом . Тогда значение искомой функции в точке будет равно …

Решение:
Метод Эйлера решения задачи Коши ,
реализуется по следующим формулам:
; ;
где – шаг расчета (величина изменения аргумента),
, а – искомое решение задачи.
Значения и для значения определяются начальным условием задачи Коши.
В нашем случае ; ; ; .
Требуется реализовать два шага (этапа) метода Эйлера, поскольку ; ; .
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Функция представлена таблицей

Тогда значение , вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно …

Решение:
Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы

имеет вид:

В нашем случае получим:
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

Решение дифференциального уравнения на отрезке с шагом , при начальном условии , в точке по методу Эйлера может быть найдено как …

ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Значение дифференциала функции в точке равно …

Решение:
Воспользуемся формулой .
В нашем случае ; ; ; ; ; ; ; и ; .
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Значение определенного интеграла по формуле парабол (Симпсона) можно приближенно найти как …

ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

Методом Эйлера с шагом решается задача Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , . Тогда значения искомых функций и равны …

Решение:
Алгоритм Эйлера решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
, ,
реализуется по формулам:
,
,
,
,
где – шаг метода, , , а и – искомые функции задачи Коши.
В рассматриваемой задаче требуется выполнить только один шаг метода Эйлера.
В нашем случае , , , , , .
Тогда
,
.

ЗАДАНИЕ N 38 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Функция представлена таблицей

Тогда значение , вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно …

Решение:
Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы

имеет вид:

В нашем случае получим:
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 42 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Интерполяционный многочлен Лагранжа, составленный по таблице значений функции

имеет вид …

Решение:
Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы

имеет вид: .
В нашем случае получим: .

ЗАДАНИЕ N 43 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

На отрезке задано дифференциальное уравнение . Значение производной в точке может быть заменено выражением …

ЗАДАНИЕ N 44 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Метод левых прямоугольников дает приближенное значение интеграла …

с недостатком

Решение:
Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников дана на рисунке:

На участке монотонного возрастания неотрицательной подынтегральной функции левый прямоугольник (прямоугольник с высотой, равной значению подынтегральной функции в левом конце частичного отрезка) находится целиком внутри соответствующей криволинейной трапеции, поэтому его площадь строго меньше площади трапеции. В интеграле подынтегральная функция является монотонно возрастающей на отрезке , поэтому все прямоугольники находятся внутри соответствующих криволинейных трапеций, и приближенное значение интеграла вычислено с недостатком.

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Значение дифференцируемой функции в точке можно приближенно найти как …

Решение:
Воспользуемся приближенной формулой .
В нашем случае , , , , , .
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени может быть составлен по таблице значений функции вида …

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

Методом Эйлера с шагом решается задача Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , . Тогда значения искомых функций и равны …

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

На рисунке

изображена геометрическая интерпретация приближенного вычисления определенного интеграла методом …

трапеций

Решение:
Как известно, геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной на отрезке функции состоит в том, что равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми и графиком функции . Для получения приближенного значения этой площади (этого интеграла) разобьем отрезок на n равных частей с длинами h точками и заменим каждую «маленькую» криволинейную трапецию с высотой h на обычную трапецию с высотой h и основаниями, равными значениям функции в левом и правом конце каждого частичного отрезка – и где
Сумма площадей полученных обычных трапеций приближенно равна сумме площадей маленьких криволинейных трапеций. Данный метод замены на сумму называется методом трапеций приближенного нахождения определенного интеграла.

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

На отрезке задано дифференциальное уравнение . Значение производной второго порядка в точке может быть заменено выражением …

Решение:
Значение производной второго порядка в точке может быть заменено по формуле: ,
где , .
В нашем случае верной будет, например, замена , при .

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Интерполяционный многочлен Лагранжа, составленный по таблице значений функции

имеет вид …

Решение:
Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы

имеет вид: .
В нашем случае получим: .

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

Методом Эйлера решается задача Коши , с шагом . Тогда значение искомой функции в точке будет равно …

Решение:
Метод Эйлера решения задачи Коши ,
реализуется по следующим формулам:
; ;
где – шаг расчета (величина изменения аргумента),
, а – искомое решение задачи.
Значения и для значения определяются начальным условием задачи Коши.
В нашем случае ; ; ; .
Требуется реализовать два шага (этапа) метода Эйлера, поскольку ; ; .
Тогда .

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Метод левых прямоугольников дает приближенное значение интеграла …

с недостатком

Решение:
Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников дана на рисунке:

На участке монотонного возрастания неотрицательной подынтегральной функции левый прямоугольник (прямоугольник с высотой, равной значению подынтегральной функции в левом конце частичного отрезка) находится целиком внутри соответствующей криволинейной трапеции, поэтому его площадь строго меньше площади трапеции. В интеграле подынтегральная функция является монотонно возрастающей на отрезке , поэтому все прямоугольники находятся внутри соответствующих криволинейных трапеций, и приближенное значение интеграла вычислено с недостатком.

ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы

Конец формы

Функция представлена таблицей

Тогда значение , вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно …

– 3

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Численное дифференцирование и интегрирование

Начало формы

Конец формы

Значение дифференцируемой функции в точке можно приближенно найти как …

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Начало формы

Конец формы

Методом Эйлера с шагом решается задача Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , . Тогда значения искомых функций и равны …

Решение:
Алгоритм Эйлера решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
, ,
реализуется по формулам:
, ,
,
,
где – шаг метода, , , а и – искомые функции задачи Коши.
В рассматриваемой задаче требуется выполнить только один шаг метода Эйлера.
В нашем случае , , , , , .
Тогда
,
.

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа

Начало формы