Проиллюстрируем сказанное на примере.

Построение математической модели задачи.

Определение исходных данных.

Решение полученной математической задачи.

Погрешности появляются уже на первом этапе, ибо матема­тическая модель задачи — это приближенное, идеализированное описание задачи на языке математики. При моделировании объек­ты и процессы задачи-оригинала, взаимосвязи между ее парамет­рами заменяются на математические понятия и соотношения. Ради того чтобы получаемая в итоге математическая задача ока­залась доступной для дальнейших исследований, учитывают лишь наиболее важные параметры, условия и особенности исходной задачи. Понятно, что чем меньше факторов отбрасывается, тем точнее получается модель.

Несмотря на приближенность результатов математического мо­делирования, без него в приложениях математики не обойтись. Оно представляет собой обязательную ступень при переходе от нема­тематической задачи к математической. Более того, удовлетвори­тельное исследование многих явлений реального мира оказывает­ся возможным лишь тогда, когда удается построить их математи­ческие модели.

Следующей причиной появления погрешностей является то, что установить точные значения исходных параметров во многих слу­чаях невозможно. Серьезные проблемы с этим возникают не только при исследовании, например, космических объектов или земной ат­мосферы, когда для определения исходных данных приходится при­бегать к различным прикидкам и сложным измерительным проце­дурам, но и при решении достаточно простых бытовых задач.

Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример 1.1. Пусть требуется найти объем некоторого предме­та, имеющего форму прямого кругового цилиндра (цистерна, бак и т.п.). Если не учитывать обычно имеющие место шероховатости и вмятины на поверхности, закругления на стыке между дном и стен­кой, а также другие возможные отклонения такого предмета от иде­ального прямого кругового цилиндра, его объем можно вычислить по формуле v= r²h. Ясно, что результат будет приближенным. Во-первых, здесь реальный предмет заменен его моделью — математи­ческим цилиндром. Во-вторых, значения подставляемых в эту фор­мулу числовых параметров могут быть только приближенными. При любом способе измерений радиуса основания r и высоты hпредмета получим их значения с погрешностями, зависящими прежде всего от точности измерительных приборов. Иррациональное число = 3, 141592653... обычно заменяют приближенным значением, по­грешность которого зависит от количества сохраняемых при округ­лении цифр. •

После того как математическая модель построена и определены исходные данные, необходимо подобрать метод решения получен­ной математической задачи. Круг математических методов условно подразделяется на аналитические, численные и графические мето­ды. Нас интересуют численные методы, которые, в свою очередь, делятся на точные и приближенные.

Численный метод называется точным, если он дает принципи­альную возможность после выполнения конечного числа операций над точными числами получить точное решение задачи. К таким методам относится, например, алгоритм решения квадратного урав­нения. Если все коэффициенты уравнения х² + 2х-3 = 0 не содер­жат погрешностей, алгоритм приведет к точным корням х₁ =- 3, х₂ = 1. Используемая в примере 1.1 формула вычислений также не порождает сама по себе погрешностей. Подставив в нее точные зна­чения r= 2, h = 4, 5, получим точное иррациональное число V= 18 .

Для большинства реальных задач точных методов решения во­обще не существует, а если они и имеются, то бывают настолько тру­доемкими, что не представляют практического интереса. Кроме того, они часто сопряжены с бесконечными вычислительными процесса­ми. Например, поиск точного значения функции может свестись к нахождению суммы числового ряда, что в общем случае практичес­ки осуществить невозможно. Вследствие этого основным инструментом вычислительной математики являются приближенные числен­ные методы, приводящие обычно к приближенным результатам даже при точных исходных данных и точных вычислениях. Возникают так называемые погрешности метода.