Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Именно такие методы излагаются в последующих главах книги.
|
|
В процессе реализации численных методов приходится выполнять арифметические операции над приближенными числами, вычислять значения функций, а также округлять исходные данные, промежуточные и окончательные результаты. При этом оказывается, что погрешность результата любого арифметического действия, как правило, превышает погрешности исходных данных. Известно также, что значения корней 
и трансцендентных функций (sin x, tg х, ех и т. п.) чаще всего удается найти только приближенно с помощью математических таблиц, компьютерных средств вычислений или приближенных формул вида
Перечисленные погрешности называются вычислительными.
Выше было сказано, что точные численные методы должны давать «принципиальную возможность» получения точных решений. На самом деле эта возможность часто не реализуется из-за вычислительных погрешностей. Например, чтобы найти и записать в десятичной форме корни уравнения х2 + х - 1 = 0, надо подставить в
соответствующие формулы округленное значение числа 
. Понятно, что тогда получатся приближенные значения корней.
Наконец, определенное влияние на результаты оказывает степень точности используемых средств вычислений. Для представления чисел в них выделяется ограниченное количество десятичных разрядов, что влечет автоматическое округление числовых данных. Чем больше разрядная сетка, тем погрешность округлений меньше и, следовательно, с тем большей точностью можно производить вычисления.
Подытоживая все сказанное выше, отмечаем, что основными источниками погрешностей являются:
• замена реальной задачи математической моделью;
• затруднения в определении точных исходных данных;
• применение приближенных методов;
• арифметические действия над приближенными числами;
• вычисление значений функций;
• округление чисел;
• ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств. При решении конкретных задач влияние тех или иных источников различно. Иногда некоторые из них могут отсутствовать вообще или накладывать ничтожный отпечаток на результаты.
Поскольку приближенные результаты решения задач бесполезны без информации о степени их точности, в процессе вычислений обязательно следует вести учет погрешностей, а изучение необходимых для этого правил и методов должно занимать важное место в курсе вычислительной математики.
Погрешности математических моделей и исходных данных не зависят от вычислительных методов, поэтому способы их определения и оценки не входят в круг проблем данной книги. В то же время без сведений о точности исходных данных нельзя учесть погрешности результатов. Будем считать, что они известны вычислителю.
Далее в гл. 1 познакомимся с понятиями и правилами, необходимыми для оценки вычислительных погрешностей. Основную роль при этом будет играть понятие расстояния между точными и приближенными значениями величин. В последующих главах одновременно с приближенными численными методами приведем способы оценивания порождаемых ими погрешностей.
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|